Номер 268, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0:$

1) $f(x) = \sqrt{x+2}, x_0 = 3;$

2) $f(x) = \frac{x-10}{|x-10|}, x_0 = -3;$

3) $f(x) = \begin{cases} 7 - 2x, & \text{если } x < 3, \\ x^2 - 8, & \text{если } x \ge 3, \end{cases} x_0 = 3;$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{4x+24}{x+6}, & \text{если } x \ne -6, \\ 4, & \text{если } x = -6, \end{cases} x_0 = -6.$

Для того чтобы выяснить, является ли функция $f(x)$ непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Для этого должны существовать и быть равны односторонние пределы: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
3. Значение функции в точке $x_0$ равно пределу функции в этой точке: $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.

1) $f(x) = \sqrt{x+2}$, $x_0 = 3$

Проверим условия непрерывности для данной функции в точке $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.
Функция определена в точке $x_0 = 3$.

2. Найдем предел функции при $x \to 3$:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \sqrt{x+2} = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \sqrt{5}$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = \sqrt{5}$.
Так как $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$, все три условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = 3$.

2) $f(x) = \frac{x-10}{|x-10|}$, $x_0 = -3$

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = -3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -3$:
$f(-3) = \frac{-3-10}{|-3-10|} = \frac{-13}{|-13|} = \frac{-13}{13} = -1$.
Функция определена в точке $x_0 = -3$.

2. Найдем предел функции при $x \to -3$.
В окрестности точки $x_0 = -3$ выражение под модулем $x-10$ является отрицательным. Следовательно, $|x-10| = -(x-10)$.
$\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} \frac{x-10}{-(x-10)} = \lim_{x \to -3} (-1) = -1$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -3$:
$f(-3) = -1$ и $\lim_{x \to -3} f(x) = -1$.
Так как $f(-3) = \lim_{x \to -3} f(x)$, все условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = -3$.

3) $f(x) = \begin{cases} 7 - 2x, & \text{если } x < 3 \\ x^2 - 8, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$, $x_0 = 3$

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$.
Так как $x_0 = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 3$, используем вторую формулу:
$f(3) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1$.
Функция определена в точке $x_0 = 3$.

2. Так как функция задана по-разному слева и справа от точки 3, найдем односторонние пределы.
Левый предел (при $x \to 3^-$, т.е. $x<3$):
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (7 - 2x) = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$.
Правый предел (при $x \to 3^+$, т.е. $x>3$):
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 8) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1$.
Поскольку левый и правый пределы равны, общий предел существует и равен 1: $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 1$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$.
Так как $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$, все условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = 3$.

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{4x+24}{x+6}, & \text{если } x \ne -6 \\ 4, & \text{если } x = -6 \end{cases}$, $x_0 = -6$

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = -6$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -6$.
Согласно определению функции, при $x = -6$ имеем $f(-6) = 4$.
Функция определена в точке $x_0 = -6$.

2. Найдем предел функции при $x \to -6$.
Для нахождения предела мы рассматриваем значения $x$, близкие к -6, но не равные -6 ($x \ne -6$), поэтому используем первую формулу:
$\lim_{x \to -6} f(x) = \lim_{x \to -6} \frac{4x+24}{x+6}$.
При подстановке $x = -6$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Упростим выражение, вынеся общий множитель в числителе:
$\lim_{x \to -6} \frac{4(x+6)}{x+6} = \lim_{x \to -6} 4 = 4$.
Предел существует и равен 4.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -6$:
$f(-6) = 4$ и $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$.
Так как $f(-6) = \lim_{x \to -6} f(x)$, все условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = -6$.