Номер 267, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 27, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 27

а

$y$, $x$, $0$, $x_0$, $f(x_0)$

б

$y$, $x$, $0$, $x_0$

в

$y$, $x$, $0$, $x_0$, $f(x_0)$

г

$y$, $x$, $0$, $x_0$, $f(x_0)$

д

$y$, $x$, $0$, $x_0$

е

$y$, $x$, $0$, $x_0$, $f(x_0)$

а)

1) Функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке есть закрашенная точка, которая показывает значение функции $f(x_0)$.
Ответ: да, определена.

2) Предел функции в точке $x_0$ существует. Чтобы предел существовал, необходимо, чтобы существовали и были равны односторонние пределы (слева и справа). На графике видно, что при приближении к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции стремятся к одной и той же точке $f(x_0)$. График функции в этой точке непрерывен.
Символически это записывается так: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) Да, предел в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке, что было установлено в предыдущем пункте.
Ответ: да, равен.

б)

1) Функция не определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена "выколотая" (пустая) точка, что означает отсутствие значения функции в данной точке.
Ответ: нет, не определена.

2) Предел функции в точке $x_0$ существует. Несмотря на то, что сама функция в точке не определена, при приближении к $x_0$ и слева, и справа, значения функции стремятся к одному и тому же числу (ординате выколотой точки). Обозначим это число как $L$.
Символически: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.

3) Предел в точке $x_0$ не может быть равен значению функции в этой точке, так как сама функция в точке $x_0$ не определена.
Ответ: нет, так как функция не определена в точке $x_0$.

в)

1) Функция определена в точке $x_0$. На графике есть отдельная закрашенная точка с абсциссой $x_0$, значение функции в ней равно $f(x_0)$.
Ответ: да, определена.

2) Предел функции в точке $x_0$ существует. При приближении к $x_0$ с обеих сторон, значения функции стремятся к ординате выколотой точки. Обозначим это предельное значение как $L$.
Символически: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.

3) Предел в точке $x_0$ не равен значению функции в этой точке. Из графика видно, что предельное значение $L$ (ордината выколотой точки) не совпадает со значением функции $f(x_0)$ (ордината закрашенной точки). То есть, $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$.
Ответ: нет, не равен.

г)

1) Функция определена в точке $x_0$, так как на графике есть закрашенная точка с этой абсциссой, и ее значение равно $f(x_0)$.
Ответ: да, определена.

2) Предел функции в точке $x_0$ не существует. Это связано с тем, что односторонние пределы не равны друг другу. Предел слева ($\lim_{x \to x_0^-} f(x)$) равен ординате выколотой точки, а предел справа ($\lim_{x \to x_0^+} f(x)$) равен значению функции $f(x_0)$. Так как эти значения различны, двусторонний предел не существует.
Ответ: нет, не существует.

3) Так как предел в точке $x_0$ не существует, он не может быть равен значению функции.
Ответ: нет, так как предел не существует.

д)

1) Функция не определена в точке $x_0$. Прямая $x=x_0$ является вертикальной асимптотой, в окрестности которой значения функции неограниченно возрастают.
Ответ: нет, не определена.

2) Предел функции в точке $x_0$ не существует как конечное число. Однако, поскольку при приближении к $x_0$ и слева, и справа значения функции стремятся к плюс бесконечности ($+\infty$), в обобщенном смысле предел существует и равен $+\infty$.
Символически: $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.
Ответ: нет, конечный предел не существует (предел равен $+\infty$).

3) Предел не является конечным числом, а функция не определена в точке $x_0$, поэтому говорить об их равенстве некорректно.
Ответ: нет.

е)

1) Функция определена в точке $x_0$. На графике есть отдельная закрашенная точка с абсциссой $x_0$ и значением $f(x_0)$.
Ответ: да, определена.

2) Предел функции в точке $x_0$ не существует. Односторонние пределы различны: при приближении к $x_0$ слева функция стремится к $+\infty$ ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$), а при приближении справа — к $-\infty$ ($\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$). Поскольку односторонние пределы не равны, двусторонний предел не существует.
Ответ: нет, не существует.

3) Так как предел в точке $x_0$ не существует, он не может быть равен значению функции.
Ответ: нет, так как предел не существует.