Номер 260, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Решите уравнение:

1) $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos 5x$;

2) $\sqrt{2}(\sin 2x - \cos 2x) = \cos 4x$;

3) $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2\sin 3x$;

4) $\cos 7x \cos 3x = \cos 4x$;

5) $\sin 7x \cos 5x = \cos 3x \sin 5x$;

6) $\sin 9x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right)$.

1) Исходное уравнение: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos 5x$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно представить как $R \cos(x - \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos \alpha = \frac{b}{R}$, $\sin \alpha = \frac{a}{R}$. В нашем случае $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим это в исходное уравнение: $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos 5x$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 5x$
Это равенство выполняется, если аргументы косинусов равны или противоположны с точностью до периода $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
а) $x - \frac{\pi}{4} = 5x + 2\pi k$
$-4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{16} - \frac{\pi k}{2}$ (или $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$)
б) $x - \frac{\pi}{4} = -5x + 2\pi n$
$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{2}(\sin 2x - \cos 2x) = \cos 4x$.
Преобразуем выражение в скобках с помощью вспомогательного угла. $\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) = \sqrt{2}\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} - \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим в уравнение: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 4x$
$2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 4x$
Используем формулу приведения для синуса: $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos 4x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$.
$2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$. Это не приводит к простому решению.
Попробуем другой подход. Преобразуем $\cos 4x$. Заметим, что $\cos 4x = \cos\left(2 \cdot \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$.
Пусть $y = 2x - \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид: $2\sin y = -\sin(2y)$
$2\sin y = -2\sin y \cos y$
$2\sin y + 2\sin y \cos y = 0$
$2\sin y (1 + \cos y) = 0$
Отсюда либо $\sin y = 0$, либо $\cos y = -1$.
а) $\sin y = 0 \implies y = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
б) $\cos y = -1 \implies y = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n \implies 2x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{8} + \pi n$.
Проверим, не является ли вторая серия решений подмножеством первой. $x = \frac{5\pi}{8} + \pi n = \frac{\pi+4\pi}{8} + \pi n = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(1+2n)}{2}$. Поскольку $(1+2n)$ — это все нечетные целые числа, вторая серия является частью первой (где $k$ может быть любым целым числом, четным или нечетным).
Следовательно, достаточно записать только первую серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2\sin 3x$.
Преобразуем левую часть с помощью вспомогательного угла. $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Разделим обе части уравнения на 2: $\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \sin 3x$
$\sin\frac{\pi}{6}\cos x + \cos\frac{\pi}{6}\sin x = \sin 3x$
$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin 3x$
Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi n$.
а) $x + \frac{\pi}{6} = 3x + 2\pi k$
$-2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{12} - \pi k$ (или $x = \frac{\pi}{12} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$)
б) $x + \frac{\pi}{6} = \pi - 3x + 2\pi n$
$4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k; x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\cos 7x \cos 3x = \cos 4x$.
Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.
$\frac{1}{2}(\cos(7x+3x) + \cos(7x-3x)) = \cos 4x$
$\frac{1}{2}(\cos 10x + \cos 4x) = \cos 4x$
$\cos 10x + \cos 4x = 2\cos 4x$
$\cos 10x = \cos 4x$
Равенство выполняется в двух случаях:
а) $10x = 4x + 2\pi k$
$6x = 2\pi k$
$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) $10x = -4x + 2\pi n$
$14x = 2\pi n$
$x = \frac{\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}; x = \frac{\pi n}{7}, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $\sin 7x \cos 5x = \cos 3x \sin 5x$.
Используем формулы преобразования произведения в сумму/разность:
$\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$
$\cos A \sin B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) - \sin(A-B))$
Применим их к обеим частям уравнения: $\frac{1}{2}(\sin(7x+5x) + \sin(7x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin(3x+5x) - \sin(3x-5x))$
$\frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 8x - \sin(-2x))$
Поскольку $\sin(-2x) = -\sin 2x$, получаем: $\frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)$
Умножим на 2 и вычтем $\sin 2x$ из обеих частей: $\sin 12x = \sin 8x$
Равенство выполняется в двух случаях:
а) $12x = 8x + 2\pi k$
$4x = 2\pi k$
$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) $12x = \pi - 8x + 2\pi n$
$20x = \pi + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, k, n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $\sin 9x = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right)$.
Используем формулу приведения для правой части: $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$.
Уравнение принимает вид: $\sin 9x = 2\sin 3x$
Применим формулу синуса тройного угла $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. Пусть $\alpha = 3x$. $\sin(3 \cdot 3x) = 3\sin 3x - 4\sin^3 3x$
Подставим в уравнение: $3\sin 3x - 4\sin^3 3x = 2\sin 3x$
$\sin 3x - 4\sin^3 3x = 0$
Вынесем $\sin 3x$ за скобки: $\sin 3x (1 - 4\sin^2 3x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
а) $\sin 3x = 0$
$3x = \pi k$
$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) $1 - 4\sin^2 3x = 0$
$\sin^2 3x = \frac{1}{4}$
$\sin 3x = \pm \frac{1}{2}$
Это соответствует решениям: $3x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}; x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.