Номер 259, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Решите уравнение:

1) $\sin 3x + 2\sin^2 2x = 1$;

2) $1 - \cos 8x = \sqrt{3} \sin 4x$;

3) $\sin^2 x + \sin^2 7x = 1$;

4) $\cos^2 4x + \cos^2 6x = \cos^2 3x + \cos^2 7x$.

1) $\sin{3x} + 2\sin^2{2x} = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $. Из нее следует, что $ 2\sin^2{\alpha} = 1 - \cos{2\alpha} $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $, поэтому $ 2\sin^2{2x} = 1 - \cos{4x} $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin{3x} + (1 - \cos{4x}) = 1 $

$ \sin{3x} - \cos{4x} = 0 $

$ \sin{3x} = \cos{4x} $

Используем формулу приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $:

$ \sin{3x} = \sin{(\frac{\pi}{2} - 4x)} $

Решения уравнения вида $ \sin{A} = \sin{B} $ находятся по формулам: $ A = B + 2\pi k $ или $ A = \pi - B + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая:

а) $ 3x = \frac{\pi}{2} - 4x + 2\pi k $

$ 7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $

б) $ 3x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 4x) + 2\pi n $

$ 3x = \pi - \frac{\pi}{2} + 4x + 2\pi n $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + 4x + 2\pi n $

$ -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n $. Так как $ n $ – любое целое число, то $ -n $ тоже любое целое. Можем записать $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi k}{7}, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, $ где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

2) $1 - \cos{8x} = \sqrt{3}\sin{4x}$

Используем формулу косинуса двойного угла $ 1 - \cos{2\alpha} = 2\sin^2{\alpha} $.

В данном случае $ \alpha = 4x $, поэтому $ 1 - \cos{8x} = 2\sin^2{4x} $.

Уравнение принимает вид:

$ 2\sin^2{4x} = \sqrt{3}\sin{4x} $

$ 2\sin^2{4x} - \sqrt{3}\sin{4x} = 0 $

Вынесем $ \sin{4x} $ за скобки:

$ \sin{4x}(2\sin{4x} - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $ \sin{4x} = 0 $

$ 4x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin{4x} - \sqrt{3} = 0 $

$ \sin{4x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ 4x = (-1)^n \arcsin{(\frac{\sqrt{3}}{2})} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 4x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, $ где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) $\sin^2{x} + \sin^2{7x} = 1$

Используем формулу понижения степени $ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $.

Применим ее к обоим слагаемым:

$ \frac{1 - \cos{2x}}{2} + \frac{1 - \cos{14x}}{2} = 1 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 1 - \cos{2x} + 1 - \cos{14x} = 2 $

$ 2 - (\cos{2x} + \cos{14x}) = 2 $

$ \cos{2x} + \cos{14x} = 0 $

Воспользуемся формулой суммы косинусов $ \cos{A} + \cos{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} $:

$ 2\cos{\frac{2x+14x}{2}}\cos{\frac{14x-2x}{2}} = 0 $

$ 2\cos{8x}\cos{6x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

а) $ \cos{8x} = 0 $

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos{6x} = 0 $

$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, $ где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) $\cos^2{4x} + \cos^2{6x} = \cos^2{3x} + \cos^2{7x}$

Используем формулу понижения степени $ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $.

$ \frac{1 + \cos{8x}}{2} + \frac{1 + \cos{12x}}{2} = \frac{1 + \cos{6x}}{2} + \frac{1 + \cos{14x}}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 + \cos{8x} + 1 + \cos{12x} = 1 + \cos{6x} + 1 + \cos{14x} $

$ \cos{8x} + \cos{12x} = \cos{6x} + \cos{14x} $

Перегруппируем слагаемые:

$ \cos{12x} - \cos{14x} = \cos{6x} - \cos{8x} $

Применим формулу разности косинусов $ \cos{A} - \cos{B} = -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}} $:

Левая часть: $ -2\sin{\frac{12x+14x}{2}}\sin{\frac{12x-14x}{2}} = -2\sin{13x}\sin{(-x)} = 2\sin{13x}\sin{x} $.

Правая часть: $ -2\sin{\frac{6x+8x}{2}}\sin{\frac{6x-8x}{2}} = -2\sin{7x}\sin{(-x)} = 2\sin{7x}\sin{x} $.

Получаем уравнение:

$ 2\sin{13x}\sin{x} = 2\sin{7x}\sin{x} $

$ 2\sin{x}(\sin{13x} - \sin{7x}) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin{13x} - \sin{7x} = 0 $

$ \sin{13x} = \sin{7x} $

Решения этого уравнения имеют вид $ 13x = 7x + 2\pi n $ или $ 13x = \pi - 7x + 2\pi m $, где $ n, m \in \mathbb{Z} $.

б.1) $ 13x = 7x + 2\pi n $

$ 6x = 2\pi n $

$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

б.2) $ 13x = \pi - 7x + 2\pi m $

$ 20x = \pi + 2\pi m $

$ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{10}, m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что серия решений $ x = \pi k $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi n}{3} $ (при $ n=3k $), поэтому первую серию можно не включать в итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{10}, $ где $ n, m \in \mathbb{Z} $.