Номер 264, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

264. Решите неравенство:

1) $\sin 3x < \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos \frac{x}{2} \ge \frac{1}{2};$

3) $\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \le -\frac{1}{2};$

5) $\operatorname{tg} \left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{3}\right) \ge \frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $\operatorname{ctg} \left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{5}\right) \le -1.$

1) Решим неравенство $ \sin(3x) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сделаем замену $ t = 3x $. Неравенство примет вид $ \sin(t) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является объединение интервалов, которое можно записать в виде двойного неравенства: $ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену: $ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < 3x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k $.
Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:
$ -\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} $.
Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos\frac{x}{2} \ge \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos(t) \ge \frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства является интервал $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k $.
Умножим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$ -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k $.
Ответ: $ x \in [-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{2\pi}{3} + 4\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \sin(x - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сделаем замену $ t = x - \frac{\pi}{4} $. Неравенство примет вид $ \sin(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решением этого неравенства является интервал $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $.
Прибавим $ \frac{\pi}{4} $ ко всем частям неравенства, чтобы найти $x$:
$ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ \frac{4\pi+3\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{8\pi+3\pi}{12} + 2\pi k $
$ \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{12} + 2\pi k $.
Ответ: $ x \in [\frac{7\pi}{12} + 2\pi k; \frac{11\pi}{12} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos(2x + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = 2x + \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \cos(t) \le -\frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства является интервал $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $.
Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей неравенства:
$ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 2x \le \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ \frac{4\pi-\pi}{6} + 2\pi k \le 2x \le \frac{8\pi-\pi}{6} + 2\pi k $
$ \frac{3\pi}{6} + 2\pi k \le 2x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $
$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $.
Разделим все части на 2:
$ \frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{7\pi}{12} + \pi k $.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{7\pi}{12} + \pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \text{tg}(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{3}) \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{4} - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \text{tg}(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $.
С учетом периодичности и области определения тангенса, решением является $ \frac{\pi}{6} + \pi k \le t < \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену: $ \frac{\pi}{6} + \pi k \le \frac{x}{4} - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k $.
Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям:
$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{x}{4} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ \frac{\pi+2\pi}{6} + \pi k \le \frac{x}{4} < \frac{3\pi+2\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{x}{4} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $.
Умножим все части на 4:
$ 2\pi + 4\pi k \le x < \frac{20\pi}{6} + 4\pi k $
$ 2\pi + 4\pi k \le x < \frac{10\pi}{3} + 4\pi k $.
Ответ: $ x \in [2\pi + 4\pi k; \frac{10\pi}{3} + 4\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

6) Решим неравенство $ \text{ctg}(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{5}) \le -1 $.
Сделаем замену $ t = \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg}(t) \le -1 $.
С учетом периодичности и области определения котангенса, решением является $ \frac{3\pi}{4} + \pi k \le t < \pi + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену: $ \frac{3\pi}{4} + \pi k \le \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{5} < \pi + \pi k $.
Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей:
$ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + \pi k \le \frac{2x}{3} < \pi - \frac{\pi}{5} + \pi k $
$ \frac{15\pi-4\pi}{20} + \pi k \le \frac{2x}{3} < \frac{5\pi-\pi}{5} + \pi k $
$ \frac{11\pi}{20} + \pi k \le \frac{2x}{3} < \frac{4\pi}{5} + \pi k $.
Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:
$ \frac{33\pi}{40} + \frac{3\pi k}{2} \le x < \frac{12\pi}{10} + \frac{3\pi k}{2} $
$ \frac{33\pi}{40} + \frac{3\pi k}{2} \le x < \frac{6\pi}{5} + \frac{3\pi k}{2} $.
Ответ: $ x \in [\frac{33\pi}{40} + \frac{3\pi k}{2}; \frac{6\pi}{5} + \frac{3\pi k}{2}) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.