Номер 254, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите все корни уравнения $\sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x = 0$, удовлетворяющие неравенству $0 < x < 3$.

Для начала решим данное тригонометрическое уравнение:

$ \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $ \cos x = 0 $

2) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$ \cos x = 0 $

Общее решение этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Решение второго уравнения:

$ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, может ли $ \cos x $ быть равным нулю. Если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что $ \sin x = 0 $. Однако, $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0 $

$ \tan x = \sqrt{3} $

Общее решение этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in Z $.

Теперь нам необходимо найти все корни, удовлетворяющие неравенству $ 0 < x < 3 $. Для этого будем подставлять целые значения $ k $ и $ n $ в полученные серии решений.

Для серии $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $:

• При $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ x \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 $. Неравенство $ 0 < 1.57 < 3 $ выполняется.
• При $ k = 1 $, $ x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $. Это значение не входит в интервал $ (0, 3) $.
• При $ k = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $. Это значение также не входит в интервал $ (0, 3) $.

Для серии $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n $:

• При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{3} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ x \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.05 $. Неравенство $ 0 < 1.05 < 3 $ выполняется.
• При $ n = 1 $, $ x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 $. Это значение не входит в интервал $ (0, 3) $.
• При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09 $. Это значение также не входит в интервал $ (0, 3) $.

Таким образом, в заданный интервал $ (0, 3) $ попадают два корня: $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2} $