Номер 245, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin(2x - 3)$;

2) $y = \arccos(x^2 - 2)$;

3) $y = \text{arctg} \frac{6}{\sqrt{x+5}}$.

1) Область определения функции арксинуса $y = \operatorname{arcsin}(t)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $y = \operatorname{arcsin}(2x-3)$ её аргумент должен удовлетворять двойному неравенству:
$-1 \le 2x-3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-1+3 \le 2x \le 1+3$
$2 \le 2x \le 4$
Разделим все части неравенства на 2:
$1 \le x \le 2$
Таким образом, область определения функции — это отрезок $[1; 2]$.
Ответ: $D(y) = [1; 2]$.

2) Область определения функции арккосинуса $y = \operatorname{arccos}(t)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $y = \operatorname{arccos}(x^2-2)$ её аргумент должен удовлетворять двойному неравенству:
$-1 \le x^2-2 \le 1$
Это неравенство равносильно системе двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 2 \ge -1 \\ x^2 - 2 \le 1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство системы:
1) $x^2 - 2 \ge -1 \implies x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
2) $x^2 - 2 \le 1 \implies x^2 \le 3 \implies x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.
Теперь найдем пересечение решений этих двух неравенств. Пересечением будет объединение отрезков $[-\sqrt{3}; -1]$ и $[1; \sqrt{3}]$.
Ответ: $D(y) = [-\sqrt{3}; -1] \cup [1; \sqrt{3}]$.

3) Область определения функции арктангенса $y = \operatorname{arctg}(t)$ — это все действительные числа, $t \in (-\infty; +\infty)$. Поэтому ограничения на область определения данной функции $y = \operatorname{arctg}\frac{6}{\sqrt{x+5}}$ накладывает только её аргумент $\frac{6}{\sqrt{x+5}}$.
В этом выражении есть два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x+5} \neq 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:
$x+5 > 0$
$x > -5$
Таким образом, область определения функции — это интервал $(-5; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-5; +\infty)$.