Номер 282, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

282. Найдите производную функции:

1) $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$;

2) $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$;

3) $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$;

4) $y = (x^4 + 2x^2 - 5)(x^2 - 2x + 2)$;

5) $y = x^3 \cos x$;

6) $y = 4x \operatorname{ctg} x$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$.
Найдём производные этих функций: $u' = (x^2 - 5)' = 2x$ и $v' = (x^3 + 4)' = 3x^2$.
Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (2x)(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2)$.
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$y' = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 4 + x^2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$y' = (2x^4 + 3x^4) - 15x^2 + 8x = 5x^4 - 15x^2 + 8x$.
Ответ: $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$.

2) Для функции $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$ можно сначала упростить выражение, раскрыв скобки. Представим $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$.
$y = x^{1/2}(2x^2 + 4) = 2x^{1/2} \cdot x^2 + 4x^{1/2} = 2x^{2 + 1/2} + 4x^{1/2} = 2x^{5/2} + 4x^{1/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило $(x^n)'=nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$y' = (2x^{5/2})' + (4x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 5x^{3/2} + 2x^{-1/2}$.
Этот результат можно также записать в виде выражения с корнями:
$y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 5x^{3/2} + 2x^{-1/2}$.

3) Для функции $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$ проще всего сначала раскрыть скобки:
$y = \sqrt{x} \cdot 9 - \sqrt{x} \cdot 7\sqrt{x} - 8 \cdot 9 + 8 \cdot 7\sqrt{x} = 9\sqrt{x} - 7x - 72 + 56\sqrt{x}$.
Приведем подобные слагаемые:
$y = (9\sqrt{x} + 56\sqrt{x}) - 7x - 72 = 65\sqrt{x} - 7x - 72$.
Теперь найдем производную этого выражения. Вспомним, что $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (65\sqrt{x})' - (7x)' - (72)' = 65 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 7 - 0 = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$.
Ответ: $y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$.

4) Для нахождения производной функции $y = (x^4 + 2x^2 - 5)(x^2 - 2x + 2)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^4 + 2x^2 - 5$ и $v = x^2 - 2x + 2$.
Находим их производные:
$u' = (x^4 + 2x^2 - 5)' = 4x^3 + 4x$.
$v' = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.
Подставляем в формулу:
$y' = (4x^3 + 4x)(x^2 - 2x + 2) + (x^4 + 2x^2 - 5)(2x - 2)$.
Раскроем скобки:
$y' = (4x^5 - 8x^4 + 8x^3 + 4x^3 - 8x^2 + 8x) + (2x^5 - 2x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 10x + 10)$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$y' = (4x^5+2x^5) + (-8x^4-2x^4) + (8x^3+4x^3+4x^3) + (-8x^2-4x^2) + (8x-10x) + 10$.
$y' = 6x^5 - 10x^4 + 16x^3 - 12x^2 - 2x + 10$.
Ответ: $y' = 6x^5 - 10x^4 + 16x^3 - 12x^2 - 2x + 10$.

5) Для функции $y = x^3 \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^3$ и $v = \cos x$.
Их производные: $u' = 3x^2$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.
Подставляем в формулу:
$y' = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' = 3x^2 \cdot \cos x + x^3 \cdot (-\sin x)$.
Упрощаем выражение:
$y' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$.
Ответ: $y' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$.

6) Для функции $y = 4x \operatorname{ctg} x$ вынесем константу 4 за знак производной и применим правило производной произведения к $x \operatorname{ctg} x$.
$y' = 4 \cdot (x \operatorname{ctg} x)'$.
Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{ctg} x$.
Их производные: $u' = 1$ и $v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставляем в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$(x \operatorname{ctg} x)' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.
Теперь умножим результат на 4:
$y' = 4\left(\operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}\right) = 4 \operatorname{ctg} x - \frac{4x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = 4 \operatorname{ctg} x - \frac{4x}{\sin^2 x}$.