Номер 5, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt[20]{a^5}$;

2) $\sqrt[4]{a^3 \sqrt[5]{a}}$;

3) $\sqrt[16]{a^{16}}$, если $a \ge 0$;

4) $\sqrt[8]{(a + 9)^8}$, если $a \le -9$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[20]{a^5}$ воспользуемся свойством корня, которое можно записать в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt[20]{a^5} = a^{\frac{5}{20}}$
Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
Ответ: $\sqrt[4]{a}$

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^3 \sqrt[5]{a}}$, работая изнутри наружу. Сначала преобразуем произведение под внешним корнем, используя степени с рациональными показателями.
Внутренний корень $\sqrt[5]{a}$ можно записать как $a^{\frac{1}{5}}$.
Теперь выражение под внешним корнем имеет вид: $a^3 \cdot a^{\frac{1}{5}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$a^3 \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{3 + \frac{1}{5}} = a^{\frac{15}{5} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{16}{5}}$
Подставим это обратно в исходное выражение:
$\sqrt[4]{a^{\frac{16}{5}}}$
Теперь применим свойство $(\sqrt[n]{x^m}) = (x^m)^{\frac{1}{n}} = x^{\frac{m}{n}}$:
$(a^{\frac{16}{5}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{16}{20}} = a^{\frac{4}{5}}$
Запишем результат в виде корня:
$a^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{a^4}$
Ответ: $\sqrt[5]{a^4}$

3) Для выражения $\sqrt[16]{a^{16}}$ при $a \ge 0$ воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
В данном случае показатель корня $16$ — четное число, поэтому:
$\sqrt[16]{a^{16}} = |a|$
По условию задачи $a \ge 0$. По определению модуля, если число неотрицательное, то его модуль равен самому числу.
Следовательно, $|a| = a$.
Ответ: $a$

4) Для выражения $\sqrt[8]{(a+9)^8}$ при $a \le -9$ также используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Показатель корня $8$ — четное число, поэтому:
$\sqrt[8]{(a+9)^8} = |a+9|$
Теперь рассмотрим знак выражения под модулем, используя условие $a \le -9$.
Перенесем 9 в левую часть неравенства:
$a - (-9) \le 0 \Rightarrow a+9 \le 0$
Это означает, что выражение $a+9$ является неположительным. По определению модуля, если выражение неположительно, его модуль равен противоположному выражению.
$|a+9| = -(a+9) = -a-9$
Ответ: $-a-9$