Номер 6, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = \frac{1}{3}x. \end{cases}$

Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики функций, входящих в систему, в одной координатной плоскости и подсчитать количество точек их пересечения.

1. Построение графика функции $y = x^{-2}$
Данную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^2}$.
- Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.
- Так как $x^2 \ge 0$, то $y = \frac{1}{x^2}$ всегда будет принимать только положительные значения ($y > 0$). Это означает, что график функции полностью находится в верхней полуплоскости (в I и II координатных четвертях).
- Функция является четной, поскольку $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси Oy.
- График состоит из двух ветвей, которые приближаются к оси Y при $x \to 0$ и к оси X при $x \to \pm\infty$.

2. Построение графика функции $y = \frac{1}{3}x$
- Это линейная функция, графиком которой является прямая линия.
- Прямая проходит через начало координат, точку (0, 0).
- Угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$ положителен, значит, функция возрастает, и её график расположен в I и III координатных четвертях.

3. Нахождение количества точек пересечения
Совместим оба графика в одной системе координат.
- График функции $y = \frac{1}{x^2}$ расположен в I и II четвертях.
- График функции $y = \frac{1}{3}x$ расположен в I и III четвертях.
- Пересечение графиков возможно только в I координатной четверти, где обе функции существуют и принимают положительные значения.
- В I четверти прямая $y = \frac{1}{3}x$ выходит из начала координат и монотонно возрастает. Ветвь графика $y = \frac{1}{x^2}$ в этой же четверти монотонно убывает от $+\infty$ до 0. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. Визуально очевидно, что они пересекаются в одной точке.

Таким образом, система уравнений имеет одно решение, так как графики её функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1.