Номер 2, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $\cos \frac{x}{7} \leqslant \frac{1}{2}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(7x + \frac{2\pi}{3}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $ \cos\frac{x}{7} \le \frac{1}{2} $

Для решения неравенства введём новую переменную. Пусть $ t = \frac{x}{7} $. Неравенство примет вид:

$ \cos t \le \frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдём на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ \frac{1}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{1}{2} $. Корни этого уравнения: $ t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

На единичной окружности этим углам соответствуют точки, лежащие на вертикальной прямой $ x = \frac{1}{2} $. Неравенству $ \cos t \le \frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге окружности, расположенные левее этой прямой. Если рассматривать один оборот (от $0$ до $2\pi$), то это будет дуга от $ \frac{\pi}{3} $ до $ 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.

С учётом периодичности функции косинуса, решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ t = \frac{x}{7} $:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{x}{7} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $

Чтобы найти $x$, умножим все части этого двойного неравенства на 7:

$ 7 \cdot \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) \le x \le 7 \cdot \left( \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right) $

$ \frac{7\pi}{3} + 14\pi n \le x \le \frac{35\pi}{3} + 14\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left[ \frac{7\pi}{3} + 14\pi n; \frac{35\pi}{3} + 14\pi n \right], n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \ctg \left(7x + \frac{2\pi}{3}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Введём новую переменную. Пусть $ t = 7x + \frac{2\pi}{3} $. Неравенство примет вид:

$ \ctg t > -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Сначала решим уравнение $ \ctg t = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Решением является $ t = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n $. Так как $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $, то $ t = \frac{2\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Функция котангенс является периодической с периодом $ \pi $ и убывающей на каждом интервале своей области определения. Область определения функции $ y = \ctg t $ - все действительные числа, кроме $ t = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Неравенство $ \ctg t > -\frac{\sqrt{3}}{3} $ выполняется для углов $t$, которые лежат в интервале от точки разрыва до точки, где котангенс равен $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$ \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену, подставив $ t = 7x + \frac{2\pi}{3} $:

$ \pi n < 7x + \frac{2\pi}{3} < \frac{2\pi}{3} + \pi n $

Чтобы найти $x$, сначала вычтем $ \frac{2\pi}{3} $ из всех частей двойного неравенства:

$ \pi n - \frac{2\pi}{3} < 7x < \frac{2\pi}{3} + \pi n - \frac{2\pi}{3} $

$ -\frac{2\pi}{3} + \pi n < 7x < \pi n $

Теперь разделим все части двойного неравенства на 7:

$ \frac{-\frac{2\pi}{3} + \pi n}{7} < x < \frac{\pi n}{7} $

$ -\frac{2\pi}{21} + \frac{\pi n}{7} < x < \frac{\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left( -\frac{2\pi}{21} + \frac{\pi n}{7}; \frac{\pi n}{7} \right), n \in \mathbb{Z} $.