Номер 2, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^7 + 3x^3 + x;$

2) $y = x^8 - 6x^4 + 2;$

3) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5};$

4) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}.$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Важным условием для чётности или нечётности является симметричность области определения функции относительно точки $x=0$. Если область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = x^7 + 3x^3 + x$

Обозначим функцию как $f(x) = x^7 + 3x^3 + x$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^7 + 3(-x)^3 + (-x) = -x^7 - 3x^3 - x$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^7 + 3x^3 + x) = -x^7 - 3x^3 - x$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $y = x^8 - 6x^4 + 2$

Обозначим функцию как $f(x) = x^8 - 6x^4 + 2$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^8 - 6(-x)^4 + 2 = x^8 - 6x^4 + 2$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 8}{x^5}$.
1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^5 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 8}{(-x)^5} = \frac{x^2 - 8}{-x^5} = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(\frac{x^2 - 8}{x^5}) = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$.
1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
$D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = -4$ принадлежит области определения, а точка $x = 4$ — не принадлежит.
Поскольку первое условие (симметричность области определения) не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.