Номер 6, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. На рисунке 32 изображена часть графика чётной функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$. Достройте график этой функции и найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[-6; 6]$.

Рис. 32

По условию, функция $y = f(x)$ является чётной. Главное свойство чётной функции заключается в том, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Постройте график этой функции
В задаче дан график функции на промежутке $[0; 6]$. Чтобы построить недостающую часть графика на промежутке $[-6; 0]$, необходимо симметрично отразить имеющуюся часть относительно оси $Oy$. Для этого определим координаты ключевых точек на исходном графике и найдём их симметричные аналоги:
• Точка $(0, 3)$, лежащая на оси симметрии, остаётся на месте.
• Точке локального минимума $(2, -1)$ будет соответствовать симметричная точка $(-2, -1)$.
• Точке локального максимума $(5, 5)$ будет соответствовать симметричная точка $(-5, 5)$.
• Конечной точке графика $(6, 4)$ будет соответствовать симметричная точка $(-6, 4)$.
Соединив полученные точки плавной кривой, которая будет зеркальным отражением исходной, мы получим полный график функции на всём промежутке $[-6; 6]$.
Ответ: График на промежутке $[-6; 0]$ является зеркальным отражением графика на промежутке $[0; 6]$ относительно оси $Oy$.

найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-6; 6]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо проанализировать весь построенный график на промежутке $[-6; 6]$.
Наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) — это ордината самой высокой точки графика. На графике видно, что таких точек две: $(-5, 5)$ и $(5, 5)$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 5.
Наименьшее значение функции ($y_{наим}$) — это ордината самой низкой точки графика. Таких точек также две: $(-2, -1)$ и $(2, -1)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -1.
Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно 5, наименьшее значение равно -1.