Номер 5, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt[21]{x^7}$;

2) $\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}}$;

3) $\sqrt[22]{a^{22}}$, если $a \le 0$;

4) $\sqrt[14]{(a-12)^{14}}$, если $a \ge 12$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt[21]{x^7} $ воспользуемся свойством корня, представив его в виде степени с рациональным показателем: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $.
В нашем случае $ n=21 $ и $ m=7 $.
Получаем: $ \sqrt[21]{x^7} = x^{\frac{7}{21}} $.
Сократим дробь в показателе степени: $ \frac{7}{21} = \frac{1}{3} $.
Таким образом, выражение принимает вид $ x^{\frac{1}{3}} $.
Запишем результат обратно в виде корня: $ x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{x} $

2) Для упрощения выражения $ \sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}} $ сначала упростим подкоренное выражение. Представим $ \sqrt[3]{x} $ как $ x^{\frac{1}{3}} $.
Тогда выражение под внешним корнем будет $ x^5 \cdot x^{\frac{1}{3}} $. По свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ складываем показатели: $ 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} $.
Таким образом, подкоренное выражение равно $ x^{\frac{16}{3}} $.
Исходное выражение принимает вид $ \sqrt[4]{x^{\frac{16}{3}}} $.
Теперь воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}} $.
Получаем: $ (x^{\frac{16}{3}})^{\frac{1}{4}} $. По свойству степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ перемножаем показатели: $ \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $.
Выражение равно $ x^{\frac{4}{3}} $.
Это можно записать в виде корня: $ \sqrt[3]{x^4} $.
Также можно вынести множитель из-под знака корня: $ \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = x\sqrt[3]{x} $.
Ответ: $ x\sqrt[3]{x} $

3) Рассмотрим выражение $ \sqrt[22]{a^{22}} $ при условии, что $ a \le 0 $.
Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $, если $ n $ — четное число.
В данном случае показатель корня $ n = 22 $ является четным, поэтому $ \sqrt[22]{a^{22}} = |a| $.
Далее, по определению модуля, если $ a \le 0 $, то $ |a| = -a $.
Следовательно, при заданном условии выражение упрощается до $ -a $.
Ответ: $ -a $

4) Рассмотрим выражение $ \sqrt[14]{(a-12)^{14}} $ при условии, что $ a \ge 12 $.
Применяем свойство корня четной степени: $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $, если $ n $ — четное число.
Показатель корня $ n = 14 $ является четным, поэтому $ \sqrt[14]{(a-12)^{14}} = |a-12| $.
Теперь используем заданное условие $ a \ge 12 $.
Из этого условия следует, что разность $ a - 12 \ge 0 $, то есть выражение под знаком модуля неотрицательно.
По определению модуля, если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $.
Таким образом, $ |a-12| = a-12 $.
Ответ: $ a-12 $