Номер 2, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $a^{4,6} \cdot a^{3,1}$;

2) $a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}} ;$

3) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6}$;

4) $(a^{\frac{4}{3}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$.

1) $a^{4,6} \cdot a^{3,1}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^{4,6} \cdot a^{3,1} = a^{4,6 + 3,1} = a^{7,7}$

Ответ: $a^{7,7}$.

2) $a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{8}{15} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{8}{15} + \frac{1}{6}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 это 30.

$\frac{8}{15} + \frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{16}{30} + \frac{5}{30} = \frac{16+5}{30} = \frac{21}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{21}{30} = \frac{7}{10}$

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{7}{10}}$.

Ответ: $a^{\frac{7}{10}}$.

3) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Упростим каждый множитель и делитель по отдельности:

$(a^{-0,8})^4 = a^{-0,8 \cdot 4} = a^{-3,2}$

$(a^{-1,4})^{-2} = a^{-1,4 \cdot (-2)} = a^{2,8}$

$(a^{0,4})^{-6} = a^{0,4 \cdot (-6)} = a^{-2,4}$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:

$a^{-3,2} \cdot a^{2,8} : a^{-2,4}$

Далее, применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$):

$a^{-3,2 + 2,8 - (-2,4)} = a^{-0,4 - (-2,4)} = a^{-0,4 + 2,4} = a^2$

Ответ: $a^2$.

4) $(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$, чтобы раскрыть скобки:

$(a^{4\frac{3}{8}})^{\frac{4}{35}} \cdot (b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Затем применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Для этого сначала преобразуем смешанные числа в показателях степеней в неправильные дроби:

$4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{32+3}{8} = \frac{35}{8}$

$2\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{24+11}{12} = \frac{35}{12}$

Теперь вычислим новые показатели степеней для $a$ и $b$:

Для $a$: $\frac{35}{8} \cdot \frac{4}{35} = \frac{35 \cdot 4}{8 \cdot 35} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Для $b$: $\frac{35}{12} \cdot \frac{4}{35} = \frac{35 \cdot 4}{12 \cdot 35} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Подставив новые показатели, получаем итоговое выражение:

$a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$.