Номер 2, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Определите знак выражения:

1) $cos156^\circ \sin(-350^\circ)\text{ctg}230^\circ;$

2) $\sin \frac{9\pi}{5} \text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$.

1) Чтобы определить знак выражения $cos156^\circ \cdot sin(-350^\circ) \cdot ctg230^\circ$, определим знак каждого множителя по отдельности.

• Угол $156^\circ$ находится во второй координатной четверти (так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$). Косинус во второй четверти имеет знак минус (-). Следовательно, $cos156^\circ < 0$.
• Функция синус является нечетной, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Таким образом, $sin(-350^\circ) = -sin(350^\circ)$. Угол $350^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 350^\circ < 360^\circ$), где синус имеет знак минус (-). Значит, $sin(350^\circ) < 0$. Тогда $sin(-350^\circ) = -(\text{отрицательное число}) > 0$. Знак — плюс (+).
• Угол $230^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 230^\circ < 270^\circ$). Котангенс в третьей четверти имеет знак плюс (+). Следовательно, $ctg230^\circ > 0$.

Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей:
$(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Результат отрицательный.

Ответ: знак минус (-).

2) Чтобы определить знак выражения $sin\frac{9\pi}{5} \cdot ctg(-\frac{8\pi}{7})$, определим знак каждого множителя.

• Определим, в какой четверти находится угол $\frac{9\pi}{5}$. Границы четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Сравним: $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$ и $2\pi = \frac{10\pi}{5}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{9\pi}{5} < 2\pi$, угол находится в четвертой четверти. Синус в четвертой четверти имеет знак минус (-). Следовательно, $sin\frac{9\pi}{5} < 0$.
• Функция котангенс является нечетной, поэтому $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Таким образом, $ctg(-\frac{8\pi}{7}) = -ctg(\frac{8\pi}{7})$. Определим, в какой четверти находится угол $\frac{8\pi}{7}$. Сравним: $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$. Так как $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в третьей четверти. Котангенс в третьей четверти имеет знак плюс (+), значит $ctg(\frac{8\pi}{7}) > 0$. Тогда $ctg(-\frac{8\pi}{7}) = -(\text{положительное число}) < 0$. Знак — минус (-).

Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей:
$(-) \cdot (-) = (+)$.
Результат положительный.

Ответ: знак плюс (+).