Номер 3, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x;$

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}{\sin x}.$

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)$

Для исследования функции на чётность, необходимо проверить два условия: область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат, и должно выполняться одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (чётная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётная функция) для всех $x$ из области определения.

1. Найдём область определения $D(f)$. Функции $x^5$, $\sin(3x)$ и $\cos(x)$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения всей функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество является симметричным относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в выражение функции:

$f(-x) = (-x)^5 - 3\sin^3(3(-x))\cos(-x)$

Воспользуемся свойствами чётности и нечётности функций:

- Степенная функция с нечётным показателем является нечётной: $(-x)^5 = -x^5$.
- Функция синус является нечётной: $\sin(-z) = -\sin(z)$, поэтому $\sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x)$.
- Тогда $\sin^3(3(-x)) = (\sin(3(-x)))^3 = (-\sin(3x))^3 = -\sin^3(3x)$.
- Функция косинус является чётной: $\cos(-z) = \cos(z)$, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$.

Подставим эти выражения обратно в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = -x^5 - 3(-\sin^3(3x))(\cos(x)) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x)$

Теперь сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)$

$-f(x) = -(x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\tg x + \ctg x}{\sin x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$. Функция определена, когда все входящие в неё выражения имеют смысл и знаменатель не равен нулю.

- $\tg x$ определён, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $\ctg x$ определён, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
- Знаменатель дроби $\sin x$ не равен нулю, то есть $x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения состоит из всех $x$, для которых $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg(-x) + \ctg(-x)}{\sin(-x)}$

Используем свойства нечётности тригонометрических функций: $\tg(-x) = -\tg x$, $\ctg(-x) = -\ctg x$, $\sin(-x) = -\sin x$.

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-\tg x - \ctg x}{-\sin x} = \frac{-(\tg x + \ctg x)}{-\sin x} = \frac{\tg x + \ctg x}{\sin x}$

Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Альтернативный способ:

Упростим исходное выражение для $f(x)$:

$f(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\sin x} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\sin x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos x}$

Теперь исследуем на чётность упрощённую функцию:

$f(-x) = \frac{1}{\sin^2(-x) \cos(-x)}$

Так как $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ и $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$f(-x) = \frac{1}{\sin^2 x \cos x} = f(x)$

Результат подтвердился: функция является чётной.

Ответ: функция чётная.