Номер 4, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{19\pi}{3}$;

2) $\operatorname{ctg}(-765^{\circ}).$

1) Чтобы найти значение $ \sin\frac{19\pi}{3} $, воспользуемся свойством периодичности функции синус. Период функции синус равен $ 2\pi $, поэтому $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.

Представим аргумент $ \frac{19\pi}{3} $ в виде суммы, выделив целое число периодов. Для этого разделим 19 на 3 с остатком, умноженным на 2 (так как в знаменателе 3, а период $ 2\pi = \frac{6\pi}{3} $):

$ \frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = \frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} $.

Так как $ 6\pi = 3 \cdot 2\pi $, это соответствует трем полным оборотам на тригонометрической окружности. Мы можем отбросить эти полные обороты, так как значение синуса от этого не изменится:

$ \sin\frac{19\pi}{3} = \sin(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} $.

Значение $ \sin\frac{\pi}{3} $ является табличным и равно:

$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) Для нахождения значения $ \mathrm{ctg}(-765^\circ) $ воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

Во-первых, котангенс является нечетной функцией, то есть $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x) $. Применим это свойство:

$ \mathrm{ctg}(-765^\circ) = -\mathrm{ctg}(765^\circ) $.

Во-вторых, функция котангенс периодична. Ее основной период равен $ 180^\circ $, но также можно использовать период $ 360^\circ $ (так как $ 360^\circ = 2 \cdot 180^\circ $). Выделим целое число полных оборотов ($ k \cdot 360^\circ $) из угла $ 765^\circ $:

$ 765^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 45^\circ = 720^\circ + 45^\circ $.

Используя периодичность, отбросим полные обороты:

$ \mathrm{ctg}(765^\circ) = \mathrm{ctg}(2 \cdot 360^\circ + 45^\circ) = \mathrm{ctg}(45^\circ) $.

Теперь подставим полученный результат в наше выражение:

$ -\mathrm{ctg}(765^\circ) = -\mathrm{ctg}(45^\circ) $.

Значение $ \mathrm{ctg}(45^\circ) $ является табличным:

$ \mathrm{ctg}(45^\circ) = 1 $.

Следовательно, итоговое значение выражения:

$ \mathrm{ctg}(-765^\circ) = -1 $.

Ответ: $ -1 $