Номер 1, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \text{tg } 11\alpha \text{ctg } 11\alpha$

2) $\cos 3\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \sin 5\beta$

3) $\frac{6 \sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha}$;

4) $\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha}$;

5) $\sin^2 (\pi + 2\alpha) - \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)$;

6) $2\sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha$

1) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \tan 11\alpha \cot 11\alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \sin^2 8\alpha = \cos^2 8\alpha$ и $\cos^2 8\alpha - 1 = - (1 - \cos^2 8\alpha) = -\sin^2 8\alpha$.
Также известно, что $\tan x \cdot \cot x = 1$.
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$\frac{\cos^2 8\alpha}{-\sin^2 8\alpha} - 1 = -\cot^2 8\alpha - 1$.
Используя тождество $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:
$-(\cot^2 8\alpha + 1) = -\frac{1}{\sin^2 8\alpha}$.
Ответ: $-\frac{1}{\sin^2 8\alpha}$.

2) Выражение $\cos 3\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \sin 5\beta$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
В данном случае $A = 3\beta$ и $B = 5\beta$.
Следовательно, выражение равно $\cos(3\beta + 5\beta) = \cos(8\beta)$.
Ответ: $\cos 8\beta$.

3) Для упрощения дроби $\frac{6 \sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha}$ применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
Применим ее к знаменателю, где $x = 10\alpha$: $\sin 20\alpha = \sin(2 \cdot 10\alpha) = 2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha$.
Подставим в дробь:
$\frac{6 \sin^2 10\alpha}{2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha}$.
Сократим числитель и знаменатель на $2 \sin 10\alpha$:
$\frac{3 \sin 10\alpha}{\cos 10\alpha} = 3 \tan 10\alpha$.
Ответ: $3 \tan 10\alpha$.

4) Для упрощения выражения $\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha}$ используем формулы преобразования суммы в произведение.
Для числителя: $\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.
$\sin 12\alpha + \sin 8\alpha = 2 \sin\frac{12\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{12\alpha-8\alpha}{2} = 2 \sin 10\alpha \cos 2\alpha$.
Для знаменателя: $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.
$\cos 11\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\frac{11\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{11\alpha-7\alpha}{2} = 2 \cos 9\alpha \cos 2\alpha$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{2 \sin 10\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 9\alpha \cos 2\alpha}$.
Сокращаем на $2$ и на $\cos 2\alpha$ (при условии $\cos 2\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin 10\alpha}{\cos 9\alpha}$.
Ответ: $\frac{\sin 10\alpha}{\cos 9\alpha}$.

5) Для упрощения выражения $\sin^2(\pi + 2\alpha) - \sin^2(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)$ применим формулы приведения.
$\sin(\pi + x) = -\sin x$, следовательно $\sin(\pi + 2\alpha) = -\sin 2\alpha$.
$\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x$, следовательно $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = -\cos 2\alpha$.
Подставляем в исходное выражение:
$(-\sin 2\alpha)^2 - (-\cos 2\alpha)^2 = \sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
$\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha = -(\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha) = -\cos(2 \cdot 2\alpha) = -\cos(4\alpha)$.
Ответ: $-\cos 4\alpha$.

6) Рассмотрим выражение $2 \sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha$.
Для первого слагаемого применим формулу преобразования произведения в сумму: $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.
В нашем случае $A = 11\alpha$ и $B = 5\alpha$.
$2 \sin 11\alpha \cos 5\alpha = \sin(11\alpha + 5\alpha) + \sin(11\alpha - 5\alpha) = \sin 16\alpha + \sin 6\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\sin 16\alpha + \sin 6\alpha) - \sin 6\alpha = \sin 16\alpha + \sin 6\alpha - \sin 6\alpha = \sin 16\alpha$.
Ответ: $\sin 16\alpha$.