Номер 5, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Сравните значения выражений:

1) $\text{tg} \frac{20\pi}{19}$ и $\text{tg} \frac{21\pi}{20}$;

2) $\cos \left(-\frac{16\pi}{33}\right)$ и $\cos \left(-\frac{17\pi}{35}\right)$.

1) Сравним $tg\frac{20\pi}{19}$ и $tg\frac{21\pi}{20}$.
Для начала преобразуем аргументы тангенсов, используя свойство периодичности функции тангенса, период которой равен $\pi$. То есть $tg(x+\pi k) = tg(x)$, где $k$ — целое число.
Для первого выражения:
$tg\frac{20\pi}{19} = tg(\frac{19\pi+\pi}{19}) = tg(\pi + \frac{\pi}{19})$.
Так как период тангенса равен $\pi$, то $tg(\pi + \frac{\pi}{19}) = tg\frac{\pi}{19}$.
Для второго выражения:
$tg\frac{21\pi}{20} = tg(\frac{20\pi+\pi}{20}) = tg(\pi + \frac{\pi}{20})$.
Аналогично, $tg(\pi + \frac{\pi}{20}) = tg\frac{\pi}{20}$.
Теперь задача сводится к сравнению значений $tg\frac{\pi}{19}$ и $tg\frac{\pi}{20}$.
Сравним аргументы (углы) $\frac{\pi}{19}$ и $\frac{\pi}{20}$.
Поскольку знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($19 < 20$), то значение первой дроби больше значения второй, т.е. $\frac{1}{19} > \frac{1}{20}$.
Следовательно, $\frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{19}$ и $\frac{\pi}{20}$, находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. На этом интервале функция $y = tg(x)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Так как $\frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20}$, то $tg\frac{\pi}{19} > tg\frac{\pi}{20}$.
Соответственно, $tg\frac{20\pi}{19} > tg\frac{21\pi}{20}$.
Ответ: $tg\frac{20\pi}{19} > tg\frac{21\pi}{20}$.

2) Сравним $cos(-\frac{16\pi}{33})$ и $cos(-\frac{17\pi}{35})$.
Функция косинуса является четной, что означает $cos(-x) = cos(x)$ для любого $x$.
Поэтому:
$cos(-\frac{16\pi}{33}) = cos(\frac{16\pi}{33})$
$cos(-\frac{17\pi}{35}) = cos(\frac{17\pi}{35})$
Задача сводится к сравнению $cos(\frac{16\pi}{33})$ и $cos(\frac{17\pi}{35})$.
Определим, в какой четверти находятся углы $\frac{16\pi}{33}$ и $\frac{17\pi}{35}$. Для этого сравним их с $\frac{\pi}{2}$.
Сравним $\frac{16}{33}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $16 \cdot 2 = 32$ и $33 \cdot 1 = 33$, то $32 < 33$, следовательно $\frac{16}{33} < \frac{1}{2}$, а значит $0 < \frac{16\pi}{33} < \frac{\pi}{2}$.
Сравним $\frac{17}{35}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $17 \cdot 2 = 34$ и $35 \cdot 1 = 35$, то $34 < 35$, следовательно $\frac{17}{35} < \frac{1}{2}$, а значит $0 < \frac{17\pi}{35} < \frac{\pi}{2}$.
Оба угла находятся в первой четверти.
Теперь сравним сами углы $\frac{16\pi}{33}$ и $\frac{17\pi}{35}$. Для этого сравним дроби $\frac{16}{33}$ и $\frac{17}{35}$. Воспользуемся перекрестным умножением:
$16 \cdot 35 = 560$
$17 \cdot 33 = 561$
Поскольку $560 < 561$, то $\frac{16}{33} < \frac{17}{35}$, и, следовательно, $\frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35}$.
Функция $y = cos(x)$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Так как $\frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35}$, то для значений косинусов неравенство будет обратным: $cos(\frac{16\pi}{33}) > cos(\frac{17\pi}{35})$.
Таким образом, $cos(-\frac{16\pi}{33}) > cos(-\frac{17\pi}{35})$.
Ответ: $cos(-\frac{16\pi}{33}) > cos(-\frac{17\pi}{35})$.