Номер 6, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[6]{x+10} = 6$;

2) $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$.

1) $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[6]{x+10} = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует корень четной (шестой) степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x+10 \ge 0 \implies x \ge -10$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[6]{x+10}$. Важно отметить, что $y \ge 0$, так как значение корня четной степени не может быть отрицательным.
Тогда $\sqrt[3]{x+10} = (\sqrt[6]{x+10})^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение и получим квадратное уравнение:
$y^2 + y = 6$
$y^2 + y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-6$, а сумма равна $-1$. Это числа $-3$ и $2$.
$y_1 = -3$, $y_2 = 2$.
Согласно условию замены, $y \ge 0$. Корень $y_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается единственный корень $y_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену:
$\sqrt[6]{x+10} = 2$
Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{x+10})^6 = 2^6$
$x+10 = 64$
$x = 54$

Полученный корень $x=54$ удовлетворяет ОДЗ ($54 \ge -10$). Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{54+10} + \sqrt[6]{54+10} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[6]{64} = 4 + 2 = 6$.
$6 = 6$. Равенство верное.
Ответ: $54$.

2) $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 1$.

Чтобы избавиться от иррациональности, уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:
$\sqrt{x+4} = 1 + \sqrt{x-1}$
$(\sqrt{x+4})^2 = (1 + \sqrt{x-1})^2$
$x+4 = 1^2 + 2\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2$
$x+4 = 1 + 2\sqrt{x-1} + x-1$

Упростим уравнение:
$x+4 = x + 2\sqrt{x-1}$
Приведем подобные слагаемые:
$4 = 2\sqrt{x-1}$
$2 = \sqrt{x-1}$

Снова возведем обе части в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{x-1})^2$
$4 = x-1$
$x = 5$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 1$). Подставим $x=5$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5+4} - \sqrt{5-1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $5$.