Номер 5, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Постройте график функции $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$.

Для построения графика функции $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$ сначала проанализируем и упростим данное выражение.

Анализ и упрощение функции

Исходная функция $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$. Выражение в скобках $(x-3)^{\frac{1}{9}}$ является другим способом записи корня 9-й степени: $\sqrt[9]{x-3}$.

Так как показатель корня (9) — нечетное число, корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Это значит, что переменная $x$ может принимать любые значения. Область определения функции (ОДЗ) — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим функцию, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9 = (x-3)^{\frac{1}{9} \cdot 9} = (x-3)^1 = x-3$.

В результате упрощения мы получили линейную функцию $y = x-3$. Область определения этой функции также все действительные числа. Поскольку области определения исходной и упрощенной функций совпадают, их графики будут полностью идентичны.

Построение графика

Графиком линейной функции $y = x-3$ является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего использовать точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого примем $x=0$:
$y = 0 - 3 = -3$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; -3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого примем $y=0$:
$0 = x - 3$
$x = 3$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(3; 0)$.

Теперь мы можем построить график, проведя прямую линию через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$. Эта прямая и будет являться графиком исходной функции.

Ответ: Графиком функции $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$ является прямая линия, заданная уравнением $y = x-3$. Она проходит через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$.