Номер 7, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Решите неравенство $\sqrt{6x - 8} > x$.

Для решения иррационального неравенства $\sqrt{6x-8} > x$ необходимо рассмотреть два случая, которые зависят от знака выражения в правой части.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6x - 8 \ge 0$

$6x \ge 8$

$x \ge \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна ($x < 0$).

В этом случае неравенство будет верным для всех $x$ из ОДЗ, так как арифметический квадратный корень (левая часть) всегда неотрицателен, а правая часть отрицательна. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Составим систему:

$\begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ x < 0 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как промежутки $x \ge \frac{4}{3}$ и $x < 0$ не пересекаются.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна ($x \ge 0$).

При этом условии обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{6x-8})^2 > x^2$

$6x - 8 > x^2$

Приведем неравенство к стандартному виду:

$x^2 - 6x + 8 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x + 8 < 0$ есть интервал $(2, 4)$.

Теперь необходимо учесть все условия для этого случая: ОДЗ ($x \ge \frac{4}{3}$), условие неотрицательности правой части ($x \ge 0$) и полученное решение ($2 < x < 4$). Составим систему:

$\begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ x \ge 0 \\ 2 < x < 4 \end{cases}$

Пересечением этих трех множеств является интервал $(2, 4)$, так как $2 > \frac{4}{3}$ и $2 > 0$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях. Поскольку в первом случае решений нет, итоговым решением будет решение из второго случая.

Ответ: $x \in (2, 4)$.