Номер 4, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Сократите дробь:

1) $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$;

2) $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$;

3) $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$.

1) Дана дробь $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$. Для ее сокращения необходимо разложить числитель или знаменатель на множители. Рассмотрим знаменатель: $m - 12m^{\frac{1}{8}}$. Вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{8}}$: $m - 12m^{\frac{1}{8}} = m^1 - 12m^{\frac{1}{8}} = m^{\frac{1}{8}}(m^{1 - \frac{1}{8}} - 12) = m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)$. Теперь подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби: $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)}$. Сократим дробь на общий множитель $(m^{\frac{7}{8}} - 12)$: $\frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$.
Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$

2) Дана дробь $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$. Заметим, что знаменатель можно представить в виде разности квадратов, используя формулу $a^2 - d^2 = (a - d)(a + d)$. Представим знаменатель в следующем виде: $b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}} = (b^{\frac{1}{8}})^2 - (5c^{\frac{1}{14}})^2$. Теперь разложим его на множители: $(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$. Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})}$. Сократим дробь на общий множитель $(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$: $\frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$.
Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$

3) Дана дробь $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$. Преобразуем числитель. Он представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой $a^2 + 2ad + d^2 = (a + d)^2$. $x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 + 2 \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot (3y^{\frac{1}{4}}) + (3y^{\frac{1}{4}})^2 = (x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2$. Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является $x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}$: $x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}) = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})}$. Сократим дробь на общий множитель $(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$: $\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$.
Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$