Номер 4, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $3\sin 2\alpha \operatorname{tg} \alpha - 2$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $3\sin2\alpha\operatorname{tg}\alpha - 2$ сначала упростим его и определим область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: выражение содержит $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, поэтому необходимо, чтобы $\cos\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$3\sin2\alpha\operatorname{tg}\alpha - 2 = 3(2\sin\alpha\cos\alpha)\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right) - 2$

Так как по ОДЗ $\cos\alpha \neq 0$, мы можем его сократить:

$6\sin\alpha\sin\alpha - 2 = 6\sin^2\alpha - 2$

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $f(\alpha) = 6\sin^2\alpha - 2$ при условии $\cos\alpha \neq 0$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что условие $\cos\alpha \neq 0$ равносильно условию $\sin^2\alpha \neq 1$.

В общем случае $0 \le \sin^2\alpha \le 1$. С учетом нашего ограничения, множество значений для $\sin^2\alpha$ есть полуинтервал $[0, 1)$.

Пусть $t = \sin^2\alpha$, тогда $t \in [0, 1)$. Рассмотрим функцию $y(t) = 6t - 2$.

Наименьшее значение

Функция $y(t) = 6t - 2$ является линейной и возрастающей. Ее наименьшее значение на полуинтервале $[0, 1)$ достигается в левой границе, то есть при $t=0$.

$y_{min} = 6 \cdot 0 - 2 = -2$.

Это значение достигается, когда $\sin^2\alpha = 0$, например, при $\alpha=0$. В этом случае $\cos0 = 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

Наибольшее значение

Так как функция $y(t) = 6t - 2$ возрастающая, ее значения увеличиваются при приближении $t$ к 1. Однако, поскольку $t$ не может быть равно 1 ($t<1$), то и функция не может достигнуть своего значения в этой точке. Значение функции стремится к $6 \cdot 1 - 2 = 4$, но никогда его не достигает.

Число 4 является точной верхней гранью (супремумом) множества значений выражения, но не его наибольшим значением. Следовательно, наибольшего значения у данного выражения не существует.

Ответ: не существует.