Номер 3, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Докажите тождество:

1) $1 + \text{tg } 5\beta \text{ tg } 10\beta = \frac{1}{\cos 10\beta}$;

2) $\frac{(\cos(2\pi + 6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) - \sin(\pi - 6\alpha))}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)} = \sin 14\alpha.$

1) Докажем тождество $1 + \text{tg } 5\beta \text{ tg } 10\beta = \frac{1}{\cos 10\beta}$.

Преобразуем левую часть равенства, выразив тангенсы через синусы и косинусы по формуле $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$1 + \text{tg } 5\beta \text{ tg } 10\beta = 1 + \frac{\sin 5\beta}{\cos 5\beta} \cdot \frac{\sin 10\beta}{\cos 10\beta}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos 5\beta \cos 10\beta$:

$1 + \frac{\sin 5\beta \sin 10\beta}{\cos 5\beta \cos 10\beta} = \frac{\cos 5\beta \cos 10\beta + \sin 5\beta \sin 10\beta}{\cos 5\beta \cos 10\beta}$

В числителе получилась формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. Применим ее, взяв $\alpha = 10\beta$ и $\beta = 5\beta$:

$\frac{\cos(10\beta - 5\beta)}{\cos 5\beta \cos 10\beta} = \frac{\cos 5\beta}{\cos 5\beta \cos 10\beta}$

Сократим дробь на $\cos 5\beta$ (при условии, что $\cos 5\beta \neq 0$):

$\frac{1}{\cos 10\beta}$

Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{(\cos(2\pi + 6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) - \sin(\pi - 6\alpha))}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)} = \sin 14\alpha$.

Упростим левую часть выражения, используя формулы приведения.

Упростим числитель:

$\cos(2\pi + 6\alpha) = \cos 6\alpha$ (в силу периодичности косинуса)

$\sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha) = \cos 8\alpha$ (формула приведения для кофункции)

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) = \sin 8\alpha$ (угол в IV четверти, косинус положителен)

$\sin(\pi - 6\alpha) = \sin 6\alpha$ (угол во II четверти, синус положителен)

Упростим знаменатель:

$\sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\cos 2\alpha$ (угол в III четверти, синус отрицателен)

Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$\frac{(\cos 6\alpha - \cos 8\alpha)(\sin 8\alpha - \sin 6\alpha)}{1 + (-\cos 2\alpha)} = \frac{(\cos 6\alpha - \cos 8\alpha)(\sin 8\alpha - \sin 6\alpha)}{1 - \cos 2\alpha}$

Применим формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\cos 6\alpha - \cos 8\alpha = -2 \sin(\frac{6\alpha+8\alpha}{2}) \sin(\frac{6\alpha-8\alpha}{2}) = -2 \sin(7\alpha) \sin(-\alpha) = 2 \sin(7\alpha) \sin\alpha$

$\sin 8\alpha - \sin 6\alpha = 2 \cos(\frac{8\alpha+6\alpha}{2}) \sin(\frac{8\alpha-6\alpha}{2}) = 2 \cos(7\alpha) \sin\alpha$

Числитель примет вид:

$(2 \sin(7\alpha) \sin\alpha) \cdot (2 \cos(7\alpha) \sin\alpha) = 4 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha) \sin^2\alpha$

Преобразуем знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$:

$1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2\alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{4 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha) \sin^2\alpha}{2 \sin^2\alpha}$

Сократим на $2 \sin^2\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$2 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha) = \sin(2 \cdot 7\alpha) = \sin(14\alpha)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.