Номер 2, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $\sin 7x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\text{tg}\left(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\right) < -\sqrt{3}$.

1) Решим неравенство $\sin{7x} \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену $t = 7x$. Неравенство примет вид $\sin{t} \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\sin{t} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
На единичной окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y). Нас интересуют точки, у которых ордината больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, заключенная между углами $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, решение для $t$ с учетом периодичности функции синуса ($2\pi$):
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену $t = 7x$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 7x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим все части двойного неравенства на 7:
$\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7} \le x \le \frac{2\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7}; \frac{2\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7}\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\tg\left(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\right) < -\sqrt{3}$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\tg{t} < -\sqrt{3}$.
Найдем значение $t$, для которого $\tg{t} = -\sqrt{3}$. Главное значение $t = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Функция тангенса является возрастающей на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$.
Следовательно, неравенство $\tg{t} < -\sqrt{3}$ выполняется на интервалах, левая граница которых - вертикальная асимптота $-\frac{\pi}{2}$, а правая - корень уравнения $-\frac{\pi}{3}$.
Решение для $t$ с учетом периодичности функции тангенса ($\pi$):
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$.
Упростим левую и правую части:
$-\frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$.
$\frac{2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{3\pi}{6} + \pi k$.
$\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Умножим все части неравенства на 7:
$\frac{7\pi}{3} + 7\pi k < x < \frac{7\pi}{2} + 7\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{7\pi}{3} + 7\pi k; \frac{7\pi}{2} + 7\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.