Номер 5, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Являются ли равносильными уравнения:

1) $x^2 = 81$ и $x^2 + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+9} + 81;$

2) $x^2 = 81$ и $x^2 + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{x-10} + 81?$

1)

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (или если оба уравнения не имеют корней).

Найдем корни первого уравнения: $x^2 = 81$.
$x = \pm\sqrt{81}$, что дает корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.
Множество корней первого уравнения: $\{-9, 9\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+9} + 81$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+9 \neq 0$, то есть $x \neq -9$.
При $x \neq -9$ мы можем вычесть из обеих частей уравнения слагаемое $\frac{1}{x+9}$, получив равносильное на ОДЗ уравнение:
$x^2 = 81$
Корни этого уравнения — $x=9$ и $x=-9$.
Сравнивая с ОДЗ, мы видим, что корень $x=-9$ не удовлетворяет условию $x \neq -9$, поэтому он является посторонним. Единственным корнем второго уравнения является $x=9$.
Множество корней второго уравнения: $\{9\}$.

Поскольку множества корней первого ($\{-9, 9\}$) и второго ($\{9\}$) уравнений не совпадают, уравнения не являются равносильными.
Ответ: нет, уравнения не являются равносильными.

2)

Первое уравнение, $x^2 = 81$, как мы уже определили, имеет множество корней $\{-9, 9\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{x-10} + 81$.
ОДЗ этого уравнения: $x-10 \neq 0$, то есть $x \neq 10$.
На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению $x^2 = 81$, которое получается после вычитания $\frac{1}{x-10}$ из обеих частей.
Корни уравнения $x^2 = 81$ — это $x=9$ и $x=-9$.
Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ.
Для $x=9$: $9 \neq 10$. Корень подходит.
Для $x=-9$: $-9 \neq 10$. Корень подходит.
Таким образом, оба корня, $9$ и $-9$, являются решениями второго уравнения.
Множество корней второго уравнения: $\{-9, 9\}$.

Поскольку множества корней первого ($\{-9, 9\}$) и второго ($\{-9, 9\}$) уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: да, уравнения являются равносильными.