Номер 3, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+1}$ на промежутке $[-5; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Функция $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$ определена и непрерывна на всем промежутке $[-5; -2]$, так как точка разрыва $x = -1$ не входит в этот промежуток.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$f'(x) = \frac{(x^2 - 8x)'(x + 1) - (x^2 - 8x)(x + 1)'}{(x + 1)^2}$$f'(x) = \frac{(2x - 8)(x + 1) - (x^2 - 8x) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 8x - 8 - x^2 + 8x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2}$.

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.$x^2 + 2x - 8 = 0$. Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:$x_1 + x_2 = -2$$x_1 \cdot x_2 = -8$Отсюда корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[-5; -2]$. Точка $x = -4$ принадлежит этому промежутку ($-5 \le -4 \le -2$).Точка $x = 2$ не принадлежит этому промежутку.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка ($x = -5$ и $x = -2$) и в критической точке $x = -4$.$f(-5) = \frac{(-5)^2 - 8(-5)}{-5 + 1} = \frac{25 + 40}{-4} = \frac{65}{-4} = -16,25$.$f(-2) = \frac{(-2)^2 - 8(-2)}{-2 + 1} = \frac{4 + 16}{-1} = \frac{20}{-1} = -20$.$f(-4) = \frac{(-4)^2 - 8(-4)}{-4 + 1} = \frac{16 + 32}{-3} = \frac{48}{-3} = -16$.

5. Сравним полученные значения: $-16,25$; $-20$; $-16$. Наибольшее значение функции на отрезке $[-5; -2]$ равно $-16$. Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; -2]$ равно $-20$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -16, наименьшее значение функции равно -20.