Номер 3, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x+1} = x-1;$

2) $\sin 3x - 6 \cos 3x = 0;$

3) $\cos 8x + 7 \sin 4x - 6 = 0.$

1) Решим иррациональное уравнение $ \sqrt{3x + 1} = x - 1 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1 \end{cases} $
Отсюда следует, что ОДЗ: $ x \ge 1 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$ (\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 $
$ 3x + 1 = x^2 - 2x + 1 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 = 0 $
$ x^2 - 5x = 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 5) = 0 $
Получаем два возможных корня:
$ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 5 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \ge 1 $):
$ x_1 = 0 $ не удовлетворяет условию $ x \ge 1 $, следовательно, это посторонний корень.
$ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ x \ge 1 $.
Выполним проверку подстановкой $ x = 5 $ в исходное уравнение:
$ \sqrt{3 \cdot 5 + 1} = 5 - 1 $
$ \sqrt{16} = 4 $
$ 4 = 4 $
Равенство верное. Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: $5$.

2) Решим тригонометрическое уравнение $ \sin3x - 6\cos3x = 0 $.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $ \cos3x $.
Отметим, что $ \cos3x \neq 0 $, так как если $ \cos3x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin3x = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Разделим уравнение на $ \cos3x $:
$ \frac{\sin3x}{\cos3x} - \frac{6\cos3x}{\cos3x} = 0 $
$ \tan3x - 6 = 0 $
$ \tan3x = 6 $
Найдем $3x$:
$ 3x = \arctan(6) + \pi n, n \in Z $
Теперь найдем $x$:
$ x = \frac{\arctan(6)}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $
Ответ: $ \frac{\arctan(6)}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

3) Решим тригонометрическое уравнение $ \cos8x + 7\sin4x - 6 = 0 $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $. В нашем случае $ \alpha = 4x $, поэтому $ \cos8x = \cos(2 \cdot 4x) = 1 - 2\sin^24x $.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ (1 - 2\sin^24x) + 7\sin4x - 6 = 0 $
$ -2\sin^24x + 7\sin4x - 5 = 0 $
Умножим обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при старшем члене положительным:
$ 2\sin^24x - 7\sin4x + 5 = 0 $
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin4x $. Так как область значений синуса от -1 до 1, то $ -1 \le t \le 1 $.
Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$ 2t^2 - 7t + 5 = 0 $
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 $.
$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 $
$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
Теперь вернемся к замене и проверим корни на соответствие условию $ -1 \le t \le 1 $.
$ t_1 = 2.5 $ не удовлетворяет условию, так как $ 2.5 > 1 $. Следовательно, уравнение $ \sin4x = 2.5 $ не имеет решений.
$ t_2 = 1 $ удовлетворяет условию.
Решим уравнение $ \sin4x = 1 $.
Это частный случай, решение которого имеет вид:
$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z $
Найдем $x$:
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $
Ответ: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.