Страница 446, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте классическое определение вероятности.

1. Классическое определение вероятности используется для нахождения вероятности события в тех случаях, когда мы имеем дело с экспериментом, имеющим конечное число равновозможных исходов. В основе этого определения лежат несколько ключевых понятий:

Элементарный исход — это один из простейших, взаимоисключающих результатов случайного эксперимента. Например, при броске игрального кубика элементарными исходами являются выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Равновозможные исходы — это такие исходы, у которых шансы на наступление одинаковы. Для симметричного кубика выпадение любой грани является равновозможным.

Несовместные исходы — это исходы, которые не могут произойти одновременно в одном и том же эксперименте. Например, при одном броске кубика не может выпасть одновременно и 2, и 5.

Благоприятствующий исход — это элементарный исход, при котором интересующее нас событие наступает.

Пусть проводится эксперимент, который имеет `$n$` равновозможных, несовместных элементарных исходов. Пусть событию `A`, вероятность которого мы хотим найти, благоприятствует `$m$` из этих исходов.

Тогда вероятность события `A` определяется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех возможных элементарных исходов.

Формула для классической вероятности имеет вид:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:

`$P(A)$` – вероятность события `A`;

`$m$` – число элементарных исходов, благоприятствующих событию `A`;

`$n$` – общее число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента.

Пример: В урне находятся 5 белых и 3 черных шара. Все шары одинаковы на ощупь. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белым?

Решение: Общее число возможных исходов равно общему количеству шаров в урне: `$n = 5 + 3 = 8$`. Это число всех равновозможных исходов.Событие `A` — "вынутый шар — белый".Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно количеству белых шаров: `$m = 5$`.Тогда вероятность события `A` равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{8}$

Ответ: Классическим определением вероятности события `A` называется отношение числа `$m$` элементарных исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу `$n$` всех равновозможных и несовместных элементарных исходов эксперимента. Вероятность вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m}{n}$.

2. Объясните, почему вероятность достоверного события всегда равна $1$.

Вероятность события, согласно классическому определению, — это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула вероятности события A: $P(A) = \frac{m}{n}$
где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех возможных исходов.

Достоверным событием называется такое событие, которое в результате данного опыта произойдет непременно, то есть гарантированно. Это означает, что любой из возможных исходов опыта является благоприятным для этого события.

Таким образом, для достоверного события число благоприятных исходов $m$ всегда равно общему числу возможных исходов $n$. Мы получаем равенство: $m = n$

Если подставить это равенство в формулу вероятности, мы получим: $P(\text{достоверное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{n}{n} = 1$
(при условии, что $n \neq 0$, что всегда верно, так как опыт должен иметь хотя бы один исход).

Пример: При броске игральной кости (кубика) событие "выпадет число, меньшее 7" является достоверным. Общее число исходов $n=6$ (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6). Число исходов, благоприятствующих событию "выпадет число, меньшее 7", также равно $m=6$, так как все возможные результаты (1, 2, 3, 4, 5, 6) меньше 7. Следовательно, вероятность этого события равна $P = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: Вероятность достоверного события всегда равна 1, потому что для такого события количество благоприятных исходов ($m$) совпадает с общим количеством всех возможных исходов ($n$), и их отношение по формуле вероятности $P = \frac{m}{n}$ всегда будет равно $\frac{n}{n} = 1$.

3. Объясните, почему вероятность невозможного события всегда равна $0$.

Чтобы объяснить, почему вероятность невозможного события равна нулю, необходимо обратиться к классическому определению вероятности.

Вероятность события $A$, обозначаемая как $P(A)$, вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события ($m$), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов эксперимента ($n$).

Формула для вычисления вероятности выглядит так:
$P(A) = \frac{m}{n}$
где:
$m$ — число благоприятствующих исходов для события $A$,
$n$ — общее число всех возможных исходов.

Невозможное событие — это событие, которое в результате данного эксперимента не может произойти ни при каких условиях. Это означает, что среди всех возможных исходов нет ни одного, который бы приводил к наступлению этого события.

Следовательно, для невозможного события число благоприятствующих ему исходов $m$ всегда равно нулю ($m = 0$).

Теперь подставим это значение в формулу вероятности:
$P(\text{невозможное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{0}{n}$

Поскольку общее число исходов $n$ в любом реальном эксперименте всегда больше нуля ($n > 0$), то деление нуля на любое положительное число всегда даёт в результате ноль.

Пример:
Рассмотрим эксперимент с броском стандартного игрального кубика, у которого 6 граней с числами от 1 до 6.
Общее число всех возможных исходов $n = 6$.
Рассмотрим невозможное событие $A$: "выпало число 7".
Число исходов, благоприятствующих событию $A$, равно $m = 0$, так как на кубике нет грани с числом 7.
Вероятность этого события: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: Вероятность невозможного события равна нулю, так как для него не существует благоприятных исходов, то есть число благоприятных исходов $m$ равно 0. Согласно формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, при делении нуля на общее число исходов $n$ (которое всегда больше нуля) в результате всегда получается ноль.

4. Из скольких основных шагов состоит классическая вероятностная схема?

Классическая вероятностная схема состоит из трех основных шагов. Эти шаги представляют собой алгоритм для нахождения вероятности события в рамках классического определения вероятности, которое применимо к экспериментам с конечным числом равновозможных исходов.

1. Нахождение общего числа всех равновозможных исходов ($n$)

   Первый шаг заключается в анализе эксперимента и определении полного множества (пространства) всех возможных элементарных исходов, $\Omega$. Важно, чтобы эти исходы были несовместными (не могли произойти одновременно), исчерпывающими (один из них обязательно произойдет) и, главное, равновероятными. Затем подсчитывается их общее количество — $n$.

   Ответ: Найдено общее число равновозможных исходов $n$.

2. Нахождение числа исходов, благоприятствующих событию ($m$)

   Второй шаг — это определение конкретного события $A$, вероятность которого необходимо рассчитать. После этого подсчитывается количество элементарных исходов из $\Omega$, которые приводят к наступлению события $A$. Это число благоприятствующих исходов обозначается как $m$. Для подсчета $n$ и $m$ часто применяются формулы из комбинаторики.

   Ответ: Найдено число исходов $m$, благоприятствующих событию $A$.

3. Вычисление вероятности по формуле

   Третий, заключительный шаг — это непосредственный расчет вероятности события $A$ по классической формуле. Вероятность равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

   $P(A) = \frac{m}{n}$

   Результат всегда является числом в интервале $[0, 1]$, где 0 соответствует невозможному событию, а 1 — достоверному.

   Ответ: Рассчитана вероятность события $P(A)$.

5. Объясните, почему вероятность любого события не может быть больше 1.

Вероятность любого события не может быть больше 1 из-за самого определения вероятности. Давайте разберем это подробно.

Классическое определение вероятности события A формулируется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов. Формула для вычисления вероятности выглядит так:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:

• $m$ — это число исходов, благоприятствующих событию A (то есть тех исходов, при которых событие A наступает).
• $n$ — это общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Теперь рассмотрим соотношение между $m$ и $n$.

Число благоприятствующих исходов ($m$) является частью (подмножеством) общего числа всех возможных исходов ($n$). В самом лучшем случае все возможные исходы будут благоприятствующими — тогда событие называется достоверным. В этом случае $m = n$. Например, вероятность того, что при броске стандартного игрального кубика выпадет число меньше 7, равна $\frac{6}{6} = 1$, так как все 6 исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) являются благоприятствующими.

В любом другом случае число благоприятствующих исходов будет меньше общего числа исходов ($m < n$). Например, вероятность выпадения четного числа на кубике равна $\frac{3}{6} = 0.5$, так как благоприятствующих исходов 3 (2, 4, 6), а всего исходов 6.

Число благоприятствующих исходов $m$ никогда не может быть больше общего числа исходов $n$, так как нельзя получить больше результатов, чем их в принципе возможно. Таким образом, для любого события всегда выполняется неравенство:

$0 \le m \le n$

Разделим все части этого двойного неравенства на $n$. Так как $n$ (общее число исходов) — это всегда положительное число ($n > 0$), знаки неравенства не изменятся:

$\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$

Упростив это выражение, мы получаем:

$0 \le \frac{m}{n} \le 1$

Поскольку $\frac{m}{n}$ — это и есть вероятность события $P(A)$, то мы приходим к выводу, что:

$0 \le P(A) \le 1$

Это неравенство математически доказывает, что вероятность любого события не может быть отрицательной и не может быть больше единицы.

Ответ: Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов ($m$) к общему числу возможных исходов ($n$). Поскольку число благоприятных исходов не может превышать общее число всех исходов ($m \le n$), то их отношение ($\frac{m}{n}$) никогда не может быть больше 1.

6. Игральный кубик бросили дважды. Какое значение суммы выпавших очков наиболее вероятно?

Для решения этой задачи рассмотрим все возможные исходы при двукратном броске игрального кубика. Игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При каждом броске может выпасть любое из этих чисел с одинаковой вероятностью.

Общее количество всех возможных комбинаций при двух бросках равно произведению числа исходов для каждого броска: $6 \times 6 = 36$ исходов. Чтобы найти наиболее вероятную сумму, нам нужно посчитать, сколькими способами можно получить каждую возможную сумму очков. Минимальная возможная сумма — это $1+1=2$, а максимальная — $6+6=12$.

Составим таблицу всех возможных сумм, где в строках указан результат первого броска, а в столбцах — результат второго:

Теперь посчитаем, сколько раз встречается каждая сумма (количество благоприятных исходов):

• Сумма 2: (1+1) – 1 способ
• Сумма 3: (1+2, 2+1) – 2 способа
• Сумма 4: (1+3, 2+2, 3+1) – 3 способа
• Сумма 5: (1+4, 2+3, 3+2, 4+1) – 4 способа
• Сумма 6: (1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1) – 5 способов
• Сумма 7: (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) – 6 способов
• Сумма 8: (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2) – 5 способов
• Сумма 9: (3+6, 4+5, 5+4, 6+3) – 4 способа
• Сумма 10: (4+6, 5+5, 6+4) – 3 способа
• Сумма 11: (5+6, 6+5) – 2 способа
• Сумма 12: (6+6) – 1 способ

Наиболее вероятное событие – это то, которое имеет наибольшее число благоприятных исходов. Из подсчетов видно, что сумма 7 имеет наибольшее количество комбинаций (6 из 36). Следовательно, это значение суммы является наиболее вероятным.

Ответ: 7

7. Чему равна сумма (произведение) события $A$ и достоверного события?

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определения операций над событиями и понятие достоверного события из теории вероятностей.

Достоверное событие — это событие, которое в результате опыта обязательно произойдет. Обозначим его греческой буквой $\Omega$ (омега). Оно представляет собой всё пространство элементарных исходов.

Событие $A$ — это произвольное событие, которое является подмножеством пространства элементарных исходов, то есть $A \subseteq \Omega$.

Сумма

Суммой (или объединением) события $A$ и достоверного события $\Omega$ называется событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается как $A + \Omega$ или $A \cup \Omega$.

Так как достоверное событие $\Omega$ наступает всегда, при любом исходе опыта, то и событие "наступило $A$ или наступило $\Omega$" также будет наступать всегда. Событие, которое наступает всегда, является достоверным событием.

Следовательно, сумма события $A$ и достоверного события равна самому достоверному событию: $A \cup \Omega = \Omega$.

Ответ: Достоверное событие.

Произведение

Произведением (или пересечением) события $A$ и достоверного события $\Omega$ называется событие, которое заключается в одновременном наступлении обоих этих событий. Обозначается как $A \cdot \Omega$ или $A \cap \Omega$.

Чтобы произошло это событие, должны одновременно наступить и событие $A$, и событие $\Omega$. Поскольку событие $\Omega$ наступает всегда, то одновременное наступление $A$ и $\Omega$ равносильно наступлению просто события $A$.

Следовательно, произведение события $A$ и достоверного события равно самому событию $A$: $A \cap \Omega = A$.

Ответ: Событие A.

8. Чему равна сумма (произведение) события $A$ и противоположного ему события?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два случая: сумму и произведение события и противоположного ему события.

Сумма события A и противоположного ему события

Пусть $A$ — некоторое случайное событие в рамках определенного эксперимента. Противоположным ему событием, которое обозначается как $\bar{A}$ (или $A'$), является событие, состоящее в том, что событие $A$ не происходит.

Суммой (или объединением) двух событий $A$ и $\bar{A}$ называется событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из них. В теории вероятностей сумма событий обозначается как $A \cup \bar{A}$ или $A + \bar{A}$.

По определению, любой элементарный исход эксперимента приводит либо к наступлению события $A$, либо к наступлению события $\bar{A}$. Это означает, что их объединение охватывает все возможные исходы эксперимента. Событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, называется достоверным событием. Достоверное событие, как правило, обозначается символом $\Omega$.

Таким образом, математически это выражается формулой: $A \cup \bar{A} = \Omega$

Ответ: Сумма события A и противоположного ему события является достоверным событием.

Произведение события A и противоположного ему события

Произведением (или пересечением) двух событий $A$ и $\bar{A}$ называется событие, которое происходит, только если оба этих события происходят одновременно. В теории вероятностей произведение событий обозначается как $A \cap \bar{A}$ или $A \cdot \bar{A}$.

По определению, событие $\bar{A}$ наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие $A$. Следовательно, события $A$ и $\bar{A}$ не могут произойти одновременно. Такие события называются несовместными.

Поскольку одновременное наступление событий $A$ и $\bar{A}$ невозможно, их произведение является событием, которое не может произойти ни при каких условиях. Такое событие называется невозможным событием. Невозможное событие, как правило, обозначается символом $\emptyset$.

Таким образом, математически это выражается формулой: $A \cap \bar{A} = \emptyset$

Ответ: Произведение события A и противоположного ему события является невозможным событием.

9. Сформулируйте теорему о вероятности суммы двух событий. Как она выглядит для случая несовместных событий?

Сформулируйте теорему о вероятности суммы двух событий.
Теорема о вероятности суммы двух событий (или теорема сложения вероятностей) гласит: вероятность суммы двух произвольных событий $A$ и $B$ равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (произведения).
Суммой событий $A$ и $B$ называется событие $A+B$ (или $A \cup B$), которое заключается в том, что произойдет хотя бы одно из событий $A$ или $B$. Произведением событий $A$ и $B$ называется событие $AB$ (или $A \cap B$), которое заключается в том, что произойдут оба события $A$ и $B$ одновременно.
Математически теорема выражается следующей формулой:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
Здесь $P(A)$ — вероятность события $A$, $P(B)$ — вероятность события $B$, а $P(AB)$ — вероятность их одновременного наступления. Вычитание $P(AB)$ необходимо, чтобы не учитывать дважды те исходы, которые благоприятны и для события $A$, и для события $B$.
Ответ: Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления: $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.

Как она выглядит для случая несовместных событий?
Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. То есть, если произошло одно из них, то другое уже произойти не может. Для таких событий их совместное наступление (произведение $AB$) является невозможным событием.
Вероятность невозможного события всегда равна нулю. Следовательно, для несовместных событий $A$ и $B$ выполняется условие:
$P(AB) = 0$
Подставляя это значение в общую формулу теоремы сложения вероятностей, получаем частный случай для несовместных событий:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - 0$
$P(A+B) = P(A) + P(B)$
Таким образом, для несовместных событий теорема упрощается: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Это правило также называют аксиомой сложения.
Ответ: Для случая несовместных событий формула имеет вид $P(A+B) = P(A) + P(B)$, так как вероятность их совместного наступления $P(AB)$ равна нулю.

10. Какое наименьшее число раз следует бросить монету, чтобы вероятность появления хотя бы одной решки стала больше 0.99?

Пусть $n$ — искомое наименьшее число бросков монеты. Вероятность выпадения решки при одном броске равна $0,5$, а орла — также $0,5$.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, — «появится хотя бы одна решка». Проще вычислить вероятность противоположного события: «не появится ни одной решки», что эквивалентно событию «все $n$ раз выпадет орел».

Обозначим событие «появится хотя бы одна решка» как $A$. Тогда противоположное событие «все $n$ раз выпадет орел» будет $\overline{A}$.

Вероятность выпадения орла в одном броске равна $p(орел) = 0,5$. Поскольку все броски являются независимыми событиями, вероятность того, что орел выпадет $n$ раз подряд, равна: $P(\overline{A}) = (0,5)^n = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: $P(A) + P(\overline{A}) = 1$. Следовательно, вероятность появления хотя бы одной решки равна: $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2^n}$

По условию задачи, эта вероятность должна быть больше $0,99$: $1 - \frac{1}{2^n} > 0,99$

Решим это неравенство относительно $n$: $1 - 0,99 > \frac{1}{2^n}$ $0,01 > \frac{1}{2^n}$ $\frac{1}{100} > \frac{1}{2^n}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $100 < 2^n$

Теперь необходимо найти наименьшее целое число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству. Проверим степени двойки:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$ ($64 < 100$, не удовлетворяет)
$2^7 = 128$ ($128 > 100$, удовлетворяет)

Наименьшее целое $n$, при котором $2^n > 100$, равно 7.
Ответ: 7