Вариант 4, страница 21 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Второй закон Ньютона. Принцип суперпозиции сил. Динамика. Механика - страница 21.

Условие.

Вариант 4

1. Маленький шарик движется согласно уравнению $x = 2t - 4t^2$ [м], масса шарика 5 г. Определите силу, действующую на шарик.

2. На тело действуют две силы, по 6 Н каждая, направленные под углом $120^\circ$ относительно друг друга. Чему равно ускорение тела, если его масса равна 200 г?

1) $10 \text{ м/с}^2$ 2) $15 \text{ м/с}^2$ 3) $20 \text{ м/с}^2$ 4) $25 \text{ м/с}^2$ 5) $30 \text{ м/с}^2$

Решение.

1. Дано:

$x(t) = 2t - 4t^2$ [м]

$m = 5$ г

В системе СИ:

$m = 5 \cdot 10^{-3}$ кг

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила $\text{F}$, действующая на тело, равна произведению массы тела $\text{m}$ на его ускорение $\text{a}$:

$F = ma$

Чтобы найти ускорение $\text{a}$, необходимо взять вторую производную от уравнения движения $x(t)$ по времени $\text{t}$.

Сначала найдем зависимость скорости от времени $v(t)$, взяв первую производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d(2t - 4t^2)}{dt} = 2 - 8t$ [м/с]

Теперь найдем ускорение $a(t)$, взяв производную от скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = \frac{d(2 - 8t)}{dt} = -8$ [м/с$^2$]

Ускорение шарика постоянно и равно -8 м/с$^2$. Знак "минус" указывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную положительному направлению оси $\text{x}$.

Теперь можем вычислить силу, действующую на шарик:

$F = m \cdot a = (5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (-8 \text{ м/с}^2) = -40 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = -0.04$ Н

Ответ: $F = -0.04$ Н.

2. Дано:

$F_1 = 6$ Н

$F_2 = 6$ Н

$\alpha = 120^\circ$

$m = 200$ г

В системе СИ:

$m = 0.2$ кг

Найти:

$\text{a}$ - ?

Решение:

Для нахождения ускорения тела воспользуемся вторым законом Ньютона:

$a = \frac{F_{равн}}{m}$

где $F_{равн}$ - равнодействующая (результирующая) сила, действующая на тело.

Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, находится как векторная сумма этих сил. Модуль равнодействующей силы $F_{равн}$ можно найти по теореме косинусов:

$F_{равн} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}$

Подставим известные значения:

$F_{равн} = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)}$

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-0.5$.

$F_{равн} = \sqrt{36 + 36 + 72 \cdot (-0.5)} = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6$ Н

Теперь, зная равнодействующую силу и массу тела, найдем ускорение:

$a = \frac{F_{равн}}{m} = \frac{6 \text{ Н}}{0.2 \text{ кг}} = 30$ м/с$^2$

Этот результат соответствует варианту ответа 5).

Ответ: 5) 30 м/с$^2$.