Вариант 1, страница 23 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Ускорение свободного падения - страница 23.

Условие.

Вариант 1

1. Однородный шар соприкасается с материальной точкой. Как и во сколько раз изменится сила их гравитационного взаимодействия, если точку удалить от поверхности шара на расстояние, равное двум диаметрам шара?

1) уменьшится в 2 раза

2) уменьшится в 4 раза

3) уменьшится в 5 раз

4) уменьшится в 16 раз

5) уменьшится в 25 раз

2. Определите силу тяжести, действующую на тело массой 2 кг, на высоте, равной $1/3$ радиуса Земли.

Решение.

1. Однородный шар соприкасается с материальной точкой. Как и во сколько раз изменится сила их гравитационного взаимодействия, если точку удалить от поверхности шара на расстояние, равное двум диаметрам шара?

Решение

Сила гравитационного взаимодействия между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $\text{r}$ — расстояние между их центрами. Для однородного шара его гравитационное поле вовне совпадает с полем материальной точки той же массы, расположенной в центре шара.

Пусть $\text{M}$ — масса шара, $\text{m}$ — масса материальной точки, $\text{R}$ — радиус шара.

В начальном положении материальная точка соприкасается с поверхностью шара. Расстояние между центром шара и точкой равно радиусу шара: $r_1 = R$. Начальная сила взаимодействия: $F_1 = G \frac{M m}{r_1^2} = G \frac{M m}{R^2}$.

Затем точку удаляют от поверхности шара на расстояние, равное двум диаметрам шара. Диаметр шара $D = 2R$. Расстояние, на которое удалили точку от поверхности, составляет $h = 2D = 2 \cdot (2R) = 4R$.

Новое расстояние между центром шара и материальной точкой будет равно сумме радиуса шара и расстояния от поверхности: $r_2 = R + h = R + 4R = 5R$.

Новая сила взаимодействия: $F_2 = G \frac{M m}{r_2^2} = G \frac{M m}{(5R)^2} = G \frac{M m}{25R^2}$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилась сила, найдем отношение начальной силы к конечной: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{M m}{R^2}}{G \frac{M m}{25R^2}} = \frac{1/R^2}{1/(25R^2)} = \frac{25R^2}{R^2} = 25$.

Таким образом, сила гравитационного взаимодействия уменьшилась в 25 раз.

Ответ: 5) уменьшится в 25 раз

2. Определите силу тяжести, действующую на тело массой 2 кг, на высоте, равной 1/3 радиуса Земли.

Дано
Масса тела: $m = 2$ кг
Высота над поверхностью Земли: $h = \frac{1}{3} R_З$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8$ Н/кг

Найти:
$F_h$ — ?

Решение

Сила тяжести, действующая на тело, определяется законом всемирного тяготения: $F = G \frac{M_З m}{r^2}$, где $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние $\text{r}$ равно радиусу Земли $R_З$, и сила тяжести $F_0 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$. Также известно, что $F_0 = m g_0$.

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние от тела до центра Земли будет $r = R_З + h$. Сила тяжести на этой высоте $F_h$ определяется по формуле: $F_h = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}$.

Подставим в формулу значение высоты из условия задачи: $h = \frac{1}{3} R_З$. $r = R_З + \frac{1}{3} R_З = \frac{4}{3} R_З$.

Тогда сила тяжести на высоте $\text{h}$ будет: $F_h = G \frac{M_З m}{(\frac{4}{3} R_З)^2} = G \frac{M_З m}{\frac{16}{9} R_З^2} = \frac{9}{16} \cdot (G \frac{M_З m}{R_З^2})$.

Выражение в скобках является силой тяжести на поверхности Земли, $F_0 = m g_0$. Следовательно, $F_h = \frac{9}{16} F_0 = \frac{9}{16} m g_0$.

Подставим числовые значения: $F_h = \frac{9}{16} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = \frac{9}{16} \cdot 19.6 \text{ Н} = 11.025 \text{ Н}$.

Ответ: 11.025 Н