Вариант 3, страница 25 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 5. Первая космическая скорость. Искусственные спутники Земли - страница 25.

Условие.

Вариант 3

1. Вычислите первую космическую скорость для Марса, если радиус планеты $R_M = 3380 \text{ км}$, а ускорение свободного падения $g_M = 3,86 \text{ м/с}^2$.

2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?

Решение.

1. Вычислите первую космическую скорость для Марса, если радиус планеты $R_М = 3380$ км, а ускорение свободного падения $g_М = 3,86$ м/с².

Дано:

$R_М = 3380$ км

$g_М = 3,86$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$R_М = 3380 \cdot 10^3$ м $= 3,38 \cdot 10^6$ м

Найти:

$v_1$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.
При движении спутника по круговой орбите вблизи поверхности планеты, сила тяжести, действующая на него, сообщает ему центростремительное ускорение.
Согласно второму закону Ньютона:
$F_т = ma_ц$
Где $F_т$ — сила тяжести, $\text{m}$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.
Сила тяжести у поверхности Марса равна $F_т = mg_М$.
Центростремительное ускорение для круговой орбиты равно $a_ц = \frac{v_1^2}{R_М}$.
Приравниваем выражения:
$mg_М = \frac{mv_1^2}{R_М}$
Масса спутника $\text{m}$ сокращается:
$g_М = \frac{v_1^2}{R_М}$
Отсюда выражаем первую космическую скорость $v_1$:
$v_1 = \sqrt{g_М \cdot R_М}$
Подставим числовые значения:
$v_1 = \sqrt{3,86 \frac{м}{с^2} \cdot 3,38 \cdot 10^6 м} = \sqrt{13046800 \frac{м^2}{с^2}} \approx 3612$ м/с

Ответ: Первая космическая скорость для Марса составляет примерно 3612 м/с (или 3,61 км/с).

2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?

Спутники на самом деле постоянно падают на Землю. Однако они не сталкиваются с ее поверхностью, потому что обладают очень большой горизонтальной (тангенциальной) скоростью.
Можно представить себе мысленный эксперимент: если бросить камень горизонтально с очень высокой горы, он пролетит некоторое расстояние и упадет на Землю. Если бросить его с большей скоростью, он пролетит дальше. При достижении определенной, очень высокой скорости (первой космической скорости), траектория падения камня будет изгибаться с той же кривизной, что и поверхность Земли. В результате, падая, он будет все время "промахиваться" мимо Земли, оставаясь на постоянной высоте и двигаясь по круговой орбите.
Таким образом, сила тяжести не прижимает спутник к Земле, а постоянно изменяет направление его скорости, заставляя его двигаться не по прямой, а по криволинейной траектории (орбите). Именно эта сила выполняет роль центростремительной силы, удерживающей спутник на орбите. Без этой скорости спутник действительно упал бы на Землю, а без силы тяжести — улетел бы в космос по прямой.

Ответ: Спутники не падают на Землю, так как их высокая горизонтальная скорость в сочетании с постоянным притяжением Земли заставляет их двигаться по орбите, непрерывно "падая" вокруг планеты, но никогда не достигая ее поверхности.