Вариант 5*, страница 24 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Ускорение свободного падения - страница 24.

Условие.

Вариант 5*

1. Два точечных тела массами $m_1$ и $m_2$ расположены на расстоянии $ ext{L}$ друг от друга. В какой точке (на каком расстоянии $ ext{x}$ от первого тела) нужно поместить третье точечное тело, чтобы сумма сил гравитационного взаимодействия была равна нулю? Известно, что $m_1 = 9m_2$.

2. Масса Марса составляет 0,1 массы Земли, радиус Марса почти в 2 раза меньше радиуса Земли. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности Марса?

1) $2 \text{ м/с}^2$

2) $2,5 \text{ м/с}^2$

3) $4 \text{ м/с}^2$

4) $25 \text{ м/с}^2$

5) $40 \text{ м/с}^2$

Решение.

1. Дано:
Два точечных тела с массами $m_1$ и $m_2$.
Расстояние между телами: $\text{L}$.
Соотношение масс: $m_1 = 9m_2$.

Найти:
Расстояние $\text{x}$ от тела $m_1$, в котором третье тело будет находиться в равновесии.

Решение:
Чтобы третье точечное тело (назовем его массу $m_3$) находилось в равновесии, сумма гравитационных сил, действующих на него со стороны тел $m_1$ и $m_2$, должна быть равна нулю. Это означает, что силы притяжения $\vec{F}_1$ (со стороны $m_1$) и $\vec{F}_2$ (со стороны $m_2$) должны быть равны по величине и противоположны по направлению: $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$.
Такое условие может выполняться только на прямой, соединяющей тела $m_1$ и $m_2$, причем в точке, расположенной между ними. В этом случае сила $\vec{F}_1$ будет направлена к $m_1$, а сила $\vec{F}_2$ - к $m_2$, то есть в противоположные стороны.
Пусть $\text{x}$ - искомое расстояние от тела $m_1$ до тела $m_3$. Тогда расстояние от тела $m_2$ до $m_3$ будет равно $L - x$.
Согласно закону всемирного тяготения, модули сил равны:
$F_1 = G \frac{m_1 m_3}{x^2}$
$F_2 = G \frac{m_2 m_3}{(L-x)^2}$
Приравниваем модули сил $F_1 = F_2$:
$G \frac{m_1 m_3}{x^2} = G \frac{m_2 m_3}{(L-x)^2}$
Сокращаем гравитационную постоянную $\text{G}$ и массу $m_3$:
$\frac{m_1}{x^2} = \frac{m_2}{(L-x)^2}$
Подставляем известное из условия соотношение $m_1 = 9m_2$:
$\frac{9m_2}{x^2} = \frac{m_2}{(L-x)^2}$
Сокращаем $m_2$ и извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку расстояния $\text{x}$ и $L-x$ положительны):
$\frac{3}{x} = \frac{1}{L-x}$
Решаем полученное уравнение:
$3(L-x) = x$
$3L - 3x = x$
$3L = 4x$
$x = \frac{3}{4}L$
Это значение удовлетворяет условию $0 < x < L$, следовательно, является верным решением.

Ответ: третье тело нужно поместить на расстоянии $x = \frac{3}{4}L$ от первого тела.

2. Дано:
Масса Марса: $M_М = 0.1 M_З$.
Радиус Марса: $R_М \approx \frac{1}{2} R_З = 0.5 R_З$.
Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:
Ускорение свободного падения на поверхности Марса $g_М$.

Решение:
Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты с массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:
$g = G \frac{M}{R^2}$
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.
Запишем это соотношение для Земли и Марса:
$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$
$g_М = G \frac{M_М}{R_М^2}$
Чтобы найти $g_М$, подставим в формулу для него известные соотношения масс и радиусов:
$g_М = G \frac{0.1 M_З}{(0.5 R_З)^2} = G \frac{0.1 M_З}{0.25 R_З^2}$
Вынесем числовой коэффициент за скобки и сгруппируем оставшиеся члены:
$g_М = \frac{0.1}{0.25} \left( G \frac{M_З}{R_З^2} \right)$
Выражение в скобках равно ускорению свободного падения на Земле $g_З$. Следовательно:
$g_М = \frac{0.1}{0.25} g_З = 0.4 g_З$
Подставим известное значение $g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$. Для упрощения расчетов, допустимого в задачах с выбором ответа, можно принять $g_З \approx 10 \text{ м/с}^2$:
$g_М \approx 0.4 \times 10 \text{ м/с}^2 = 4 \text{ м/с}^2$
Более точный расчет дает: $g_М = 0.4 \times 9.8 \text{ м/с}^2 = 3.92 \text{ м/с}^2$.
Оба результата указывают на то, что наиболее подходящим является вариант ответа 3).

Ответ: 3) 4 м/с².