Вариант 4, страница 24 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Ускорение свободного падения - страница 24.

Условие.

Вариант 4

1. Три одинаковых шара лежат на горизонтальной плоскости вплотную друг к другу так, что их центры располагаются на одной прямой. Во сколько раз отличаются силы гравитационного взаимодействия двух крайних шаров и крайнего шара с шаром, находящимся в середине?

1) 2 2) 4 3) 1 4) $1/2$ 5) $1/4$

2. На некоторой планете сила тяжести в 2 раза меньше, чем на Земле. Во сколько раз отличается масса планеты от массы Земли, если известно, что радиус планеты в 2 раза больше радиуса Земли?

Решение.

1. Решение

Пусть масса каждого одинакового шара равна $\text{m}$, а их радиус равен $\text{R}$. Шары лежат на одной прямой вплотную друг к другу. Это означает, что расстояние между центрами соседних шаров равно $2R$. Обозначим шары слева направо как 1, 2 и 3.

Сила гравитационного взаимодействия определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ – массы тел, $\text{r}$ – расстояние между их центрами.

Найдем силу взаимодействия между крайним шаром (1) и средним шаром (2), обозначим ее $F_{12}$. Расстояние между их центрами $r_{12} = 2R$.

$F_{12} = G \frac{m \cdot m}{(2R)^2} = G \frac{m^2}{4R^2}$

Теперь найдем силу взаимодействия между двумя крайними шарами (1 и 3), обозначим ее $F_{13}$. Расстояние между их центрами $r_{13}$ равно сумме расстояний между центрами шаров 1-2 и 2-3, то есть $r_{13} = 2R + 2R = 4R$.

$F_{13} = G \frac{m \cdot m}{(4R)^2} = G \frac{m^2}{16R^2}$

Чтобы найти, во сколько раз отличаются эти силы, найдем их отношение:

$\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{G \frac{m^2}{4R^2}}{G \frac{m^2}{16R^2}} = \frac{1/4}{1/16} = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, сила взаимодействия между крайним и средним шарами в 4 раза больше силы взаимодействия между двумя крайними шарами.

Ответ: в 4 раза (вариант 2).

2. Дано:

Обозначим параметры планеты индексом "п", а параметры Земли – индексом "З".

Сила тяжести на планете в 2 раза меньше, чем на Земле: $F_{тп} = \frac{1}{2} F_{тЗ}$

Радиус планеты в 2 раза больше радиуса Земли: $R_п = 2 R_З$

Найти:

Отношение массы планеты к массе Земли: $\frac{M_п}{M_З}$

Решение

Сила тяжести, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности небесного тела, определяется по формуле:

$F_т = G \frac{M m}{R^2}$, где $\text{M}$ – масса небесного тела, $\text{R}$ – его радиус.

Запишем это выражение для планеты и для Земли:

$F_{тп} = G \frac{M_п m}{R_п^2}$

$F_{тЗ} = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Согласно условию, $F_{тп} = \frac{1}{2} F_{тЗ}$. Подставим формулы для сил:

$G \frac{M_п m}{R_п^2} = \frac{1}{2} G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократим одинаковые множители ($\text{G}$ и $\text{m}$):

$\frac{M_п}{R_п^2} = \frac{1}{2} \frac{M_З}{R_З^2}$

Выразим отношение масс $\frac{M_п}{M_З}$:

$\frac{M_п}{M_З} = \frac{1}{2} \frac{R_п^2}{R_З^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{R_п}{R_З}\right)^2$

Из условия известно, что $\frac{R_п}{R_З} = 2$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{M_п}{M_З} = \frac{1}{2} (2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Масса планеты в 2 раза больше массы Земли.

Ответ: масса планеты в 2 раза больше массы Земли.