Вариант 2, страница 23 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Ускорение свободного падения. Динамика. Механика - страница 23.

Условие.

Вариант 2

1. Два одинаковых шара соприкасаются друг с другом. Как изменится сила их гравитационного взаимодействия, если один из шаров отодвинуть на расстояние, равное диаметру шара?

1) уменьшится в 2 раза

2) уменьшится в 4 раза

3) не изменится

4) увеличится в 2 раза

5) увеличится в 4 раза

2. На некоторой высоте над поверхностью Земли сила тяжести, действующая на тело массой 10 кг, составляет 6,25 Н. Определите высоту, на которой располагается это тело.

Решение.

1. Закон всемирного тяготения описывает силу гравитационного взаимодействия между двумя телами: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $\text{r}$ — расстояние между их центрами.

Пусть масса каждого из одинаковых шаров равна $\text{m}$, а их радиус — $\text{R}$. Тогда диаметр шара $D = 2R$.

В начальном положении шары соприкасаются. Расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $r_1 = R + R = 2R$.

Сила их гравитационного взаимодействия в этом случае равна: $F_1 = G \frac{m \cdot m}{(2R)^2} = G \frac{m^2}{4R^2}$.

Затем один из шаров отодвигают на расстояние, равное диаметру шара ($D = 2R$). Это означает, что расстояние между центрами шаров увеличивается на $2R$. Новое расстояние между центрами составит: $r_2 = r_1 + 2R = 2R + 2R = 4R$.

Новая сила взаимодействия будет равна: $F_2 = G \frac{m^2}{(4R)^2} = G \frac{m^2}{16R^2}$.

Чтобы определить, как изменилась сила, найдем отношение начальной силы к конечной: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{m^2}{4R^2}}{G \frac{m^2}{16R^2}} = \frac{16R^2}{4R^2} = 4$.

Таким образом, $F_1 = 4F_2$, что означает, что сила взаимодействия уменьшилась в 4 раза.

Ответ: 2) уменьшится в 4 раза.

2. Дано:

$m = 10 \text{ кг}$

$F = 6,25 \text{ Н}$

Справочные данные:

Радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Перевод в СИ:

$R_З = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело массой $\text{m}$ на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли, определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}$, где $M_З$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли.

Сила тяжести, действующая на то же тело у поверхности Земли, равна $F_0 = m g$.

Ускорение свободного падения у поверхности Земли связано с массой и радиусом Земли соотношением $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$.

Найдем отношение силы тяжести у поверхности $F_0$ к силе тяжести на высоте $\text{h}$:

$\frac{F_0}{F} = \frac{G \frac{M_З m}{R_З^2}}{G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}} = \frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = \left(\frac{R_З + h}{R_З}\right)^2$.

Рассчитаем силу тяжести у поверхности Земли, используя заданное значение $g \approx 10 \text{ Н/кг}$:

$F_0 = m g = 10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 100 \text{ Н}$.

Теперь найдем численное значение отношения сил:

$\frac{F_0}{F} = \frac{100 \text{ Н}}{6,25 \text{ Н}} = 16$.

Приравняем два выражения для отношения сил и решим уравнение относительно $\text{h}$:

$\left(\frac{R_З + h}{R_З}\right)^2 = 16$

$\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{16} = 4$

$R_З + h = 4R_З$

$h = 4R_З - R_З = 3R_З$

Подставим значение радиуса Земли:

$h = 3 \cdot 6400 \text{ км} = 19200 \text{ км}$.

В системе СИ: $h = 3 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} = 19,2 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Ответ: высота, на которой располагается тело, равна $19200 \text{ км}$ (или $1,92 \cdot 10^7 \text{ м}$).