Вариант 2, страница 25 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 5. Первая космическая скорость. Искусственные спутники Земли - страница 25.

Условие.

Вариант 3

1. Как изменится первая космическая скорость, если масса планеты увеличится в 9 раз?

2. Может ли искусственный спутник Земли обращаться вокруг планеты со скоростью 1 км/с по круговой орбите?

Решение.

1. Как изменится первая космическая скорость, если масса планеты увеличится в 9 раз?

Решение

Первая космическая скорость $v_1$ для планеты определяется формулой:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты (или радиус круговой орбиты у поверхности).

Из этой формулы следует, что первая космическая скорость прямо пропорциональна квадратному корню из массы планеты: $v_1 \propto \sqrt{M}$.

Пусть начальная масса планеты — $M_1$, а новая масса — $M_2$. По условию, $M_2 = 9 M_1$.

Начальная скорость: $v_{1,1} = \sqrt{G \frac{M_1}{R}}$

Новая скорость: $v_{1,2} = \sqrt{G \frac{M_2}{R}} = \sqrt{G \frac{9 M_1}{R}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{G \frac{M_1}{R}} = 3 v_{1,1}$.

Таким образом, если масса планеты увеличится в 9 раз, то первая космическая скорость увеличится в 3 раза.

Ответ: Первая космическая скорость увеличится в 3 раза.

2. Может ли искусственный спутник Земли обращаться вокруг планеты со скоростью 1 км/с по круговой орбите?

Дано

Скорость спутника $v = 1 \text{ км/с}$

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли $M_З \approx 5.972 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км}$

Перевод в СИ:
$v = 1 \cdot 1000 \text{ м/с} = 1000 \text{ м/с}$
$R_З \approx 6.371 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Возможность существования такой орбиты.

Решение

Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите, действующая на него сила всемирного тяготения должна быть равна центростремительной силе. Скорость движения спутника по круговой орбите радиусом $\text{r}$ определяется формулой:

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

Чтобы определить, возможна ли такая орбита, необходимо найти ее радиус $\text{r}$ и сравнить его с радиусом Земли $R_З$. Орбита физически возможна, если ее радиус больше радиуса Земли ($r > R_З$).

Выразим радиус орбиты $\text{r}$ из формулы:

$v^2 = G \frac{M_З}{r} \implies r = \frac{G M_З}{v^2}$

Подставим известные значения:

$r = \frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24}}{(1000)^2} \approx \frac{3.986 \cdot 10^{14}}{10^6} \approx 3.986 \cdot 10^8 \text{ м}$

Переведем радиус орбиты в километры: $r \approx 398600 \text{ км}$.

Теперь сравним полученный радиус орбиты с радиусом Земли:

$r \approx 398600 \text{ км}$

$R_З \approx 6371 \text{ км}$

Поскольку $r > R_З$ ($398600 \text{ км} > 6371 \text{ км}$), такая орбита находится далеко за пределами поверхности Земли и, следовательно, физически возможна. Стоит отметить, что этот радиус превышает средний радиус орбиты Луны (около 384400 км).

Ответ: Да, может.