Вариант 3, страница 26 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 6. Вес тела. Динамика вращательного движения - страница 26.

Условие.

Вариант 3

1. Тело массой 10 кг поднимают вертикально вверх замедленно с ускорением $2 \text{ м}/\text{с}^2$. Чему равен вес тела?

1) 1200 Н 2) 100 Н 3) 80 Н 4) 40 Н 5) 20 Н

2. Резиновый шнур длиной $10 \text{ см}$ прикреплён к оси вращающегося в горизонтальной плоскости диска. Коэффициент жёсткости резины $1000 \text{ Н}/\text{м}$. На конце шнура закреплён шарик массой $100 \text{ г}$. Определите изменение длины шнура во время вращения, если линейная скорость шарика равна $5 \text{ м}/\text{с}$.

Решение.

1. Вес тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда тело движется с ускорением, его вес отличается от силы тяжести. Запишем второй закон Ньютона для тела, движущегося вертикально вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. На тело действуют две силы: сила, поднимающая тело $F_{под}$, направленная вверх, и сила тяжести $mg$, направленная вниз. Согласно второму закону Ньютона, $m\vec{a} = \vec{F}_{под} + m\vec{g}$. В проекции на ось OY: $ma_y = F_{под} - mg$. Тело поднимают замедленно, это означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости. Так как скорость направлена вверх, ускорение $\vec{a}$ направлено вниз. Следовательно, его проекция на ось OY отрицательна: $a_y = -a = -2 \, м/с^2$. Вес тела $\text{P}$ по третьему закону Ньютона равен по модулю силе, поднимающей тело $F_{под}$. $P = F_{под} = mg + ma_y = m(g + a_y)$. Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \, м/с^2$: $P = 10 \, кг \cdot (10 \, м/с^2 - 2 \, м/с^2) = 10 \, кг \cdot 8 \, м/с^2 = 80 \, Н$.

Ответ: 3) 80 Н

2. Дано:
$l_0 = 10$ см
$k = 1000$ Н/м
$m = 100$ г
$v = 5$ м/с

Перевод в систему СИ:

$l_0 = 0.1$ м
$m = 0.1$ кг

Найти:

$\Delta l$ - ?

Решение:

При вращении шарика на резиновом шнуре в горизонтальной плоскости на него действует сила упругости со стороны шнура, которая и является центростремительной силой, удерживающей шарик на круговой орбите. Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta l$, где $\Delta l$ – изменение длины шнура (его удлинение). Центростремительная сила, действующая на шарик, вычисляется по формуле: $F_{ц} = \frac{mv^2}{R}$, где $\text{R}$ – радиус окружности, по которой движется шарик. Радиус вращения $\text{R}$ равен сумме начальной длины шнура $l_0$ и его удлинения $\Delta l$: $R = l_0 + \Delta l$. Приравняем силу упругости к центростремительной силе: $F_{упр} = F_{ц}$ $k \Delta l = \frac{mv^2}{l_0 + \Delta l}$ Получаем уравнение относительно $\Delta l$: $k \Delta l (l_0 + \Delta l) = mv^2$ $k(\Delta l)^2 + k l_0 \Delta l - mv^2 = 0$ Подставим числовые значения: $1000 \cdot (\Delta l)^2 + 1000 \cdot 0.1 \cdot \Delta l - 0.1 \cdot 5^2 = 0$ $1000 (\Delta l)^2 + 100 \Delta l - 0.1 \cdot 25 = 0$ $1000 (\Delta l)^2 + 100 \Delta l - 2.5 = 0$ Решим это квадратное уравнение относительно $\Delta l$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 100^2 - 4 \cdot 1000 \cdot (-2.5) = 10000 + 10000 = 20000$. $\sqrt{D} = \sqrt{20000} = \sqrt{10000 \cdot 2} = 100\sqrt{2}$. Находим корни уравнения: $\Delta l = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-100 \pm 100\sqrt{2}}{2 \cdot 1000}$. Так как удлинение $\Delta l$ должно быть положительной величиной, выбираем корень со знаком плюс: $\Delta l = \frac{-100 + 100\sqrt{2}}{2000} = \frac{100(\sqrt{2}-1)}{2000} = \frac{\sqrt{2}-1}{20}$. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$. $\Delta l \approx \frac{1.414 - 1}{20} = \frac{0.414}{20} = 0.0207$ м. Переведем результат в сантиметры: $0.0207 \, м = 2.07 \, см$.

Ответ: изменение длины шнура равно $0.0207$ м или $2.07$ см.