Вариант 5*, страница 25 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 5. Первая космическая скорость. Искусственные спутники Земли - страница 25.

Условие.

Вариант 5*

1. Плотность Меркурия примерно равна плотности Земли, а радиус — в 2,63 раза меньше радиуса Земли. Определите отношение первых космических скоростей на Меркурии и на Земле.

2. В каком направлении и из каких точек Земли выгоднее запускать спутники? Ответ поясните.

Решение.

1. Дано

$ \rho_М \approx \rho_З $
$ R_З = 2.63 \cdot R_М $

Найти:

$ \frac{v_М}{v_З} - ? $

Решение

Первая космическая скорость $\text{v}$ для планеты определяется по формуле: $ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} $, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Массу планеты можно выразить через её среднюю плотность $ \rho $ и объём $\text{V}$. Будем считать планеты шарами, тогда их объём $ V = \frac{4}{3}\pi R^3 $. Масса планеты: $ M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 $.

Подставим выражение для массы в формулу первой космической скорости: $ v = \sqrt{\frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho R^2} = R\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho} $.

Запишем эту формулу для Меркурия (индекс М) и Земли (индекс З): $ v_М = R_М\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_М} $
$ v_З = R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З} $

Теперь найдём отношение первой космической скорости на Меркурии к первой космической скорости на Земле: $ \frac{v_М}{v_З} = \frac{R_М\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_М}}{R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}} $.

По условию задачи, плотности планет примерно равны, $ \rho_М \approx \rho_З $. Значит, выражения под корнем можно сократить: $ \frac{v_М}{v_З} = \frac{R_М}{R_З} $.

Также по условию радиус Земли в 2,63 раза больше радиуса Меркурия, $ R_З = 2.63 \cdot R_М $. Подставим это в наше отношение: $ \frac{v_М}{v_З} = \frac{R_М}{2.63 \cdot R_М} = \frac{1}{2.63} \approx 0.38 $.

Таким образом, первая космическая скорость на Меркурии примерно в 2,63 раза меньше, чем на Земле.

Ответ: Отношение первых космических скоростей на Меркурии и на Земле равно $ \frac{1}{2.63} $, то есть первая космическая скорость на Меркурии в 2,63 раза меньше, чем на Земле.

2. Запуск спутников выгоднее всего производить в восточном направлении с точек, расположенных как можно ближе к экватору.

Пояснение:

1. Направление запуска. Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток. Любой объект на поверхности Земли уже обладает некоторой скоростью, направленной на восток. Чтобы вывести спутник на орбиту, ему необходимо сообщить определённую скорость (первую космическую). Если запускать спутник в направлении вращения Земли (на восток), то начальная скорость, обусловленная вращением планеты, будет складываться со скоростью ракеты-носителя. Это позволяет сэкономить топливо, так как ракете потребуется сообщить спутнику меньшую дополнительную скорость.

2. Точка запуска. Линейная скорость точек на поверхности Земли из-за её суточного вращения зависит от широты. Эта скорость максимальна на экваторе и уменьшается до нуля на полюсах. Максимальная скорость на экваторе составляет около 465 м/с (или 1674 км/ч). Запуская спутник с экватора, мы получаем максимальный "бонус" к скорости от вращения Земли. Это означает, что для достижения орбитальной скорости потребуется наименьшее количество энергии и, следовательно, топлива. По этой причине большинство космодромов мира (например, Куру во Французской Гвиане, Байконур, Космический центр Кеннеди) расположены в низких широтах.

Ответ: Выгоднее всего запускать спутники в направлении вращения Земли (на восток) с космодромов, расположенных как можно ближе к экватору. Это позволяет максимально использовать скорость вращения Земли для уменьшения затрат энергии (топлива) на достижение орбитальной скорости.