Вариант 3, страница 23 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Ускорение свободного падения. Динамика. Механика - страница 23.

Условие.

Вариант 3

1. Два одинаковых шара расположены на некотором расстоянии друг от друга. Как изменится сила их гравитационного взаимодействия, если при неизменном расстоянии массу каждого шара увеличить в 2 раза?

1) уменьшится в 2 раза

2) уменьшится в 4 раза

3) не изменится

4) увеличится в 2 раза

5) увеличится в 4 раза

2. На какой высоте относительно поверхности Земли сила тяжести уменьшается в 2 раза?

Решение.

1. Два одинаковых шара расположены на некотором расстоянии друг от друга. Как изменится сила их гравитационного взаимодействия, если при неизменном расстоянии массу каждого шара увеличить в 2 раза?

Решение

Сила гравитационного взаимодействия между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$,
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $\text{r}$ — расстояние между ними.

Пусть начальная масса каждого шара равна $\text{m}$, а расстояние между ними — $\text{r}$. Тогда начальная сила их взаимодействия $F_1$ равна:
$F_1 = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$

По условию задачи, массу каждого шара увеличили в 2 раза, а расстояние оставили неизменным. Новые массы шаров будут $m'_1 = 2m$ и $m'_2 = 2m$.

Новая сила взаимодействия $F_2$ будет равна:
$F_2 = G \frac{(2m) \cdot (2m)}{r^2} = G \frac{4m^2}{r^2}$

Чтобы найти, как изменилась сила, сравним новую силу $F_2$ с начальной силой $F_1$:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{G \frac{4m^2}{r^2}}{G \frac{m^2}{r^2}} = 4$

Следовательно, сила гравитационного взаимодействия увеличилась в 4 раза.

Ответ: 5) увеличится в 4 раза.

---

2. На какой высоте относительно поверхности Земли сила тяжести уменьшается в 2 раза?

Дано

$F_h = \frac{F_0}{2}$
$R_З \approx 6400 \text{ км}$ — средний радиус Земли

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$

Решение

Сила тяжести $F_0$, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности Земли, равна:
$F_0 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$,
где $M_З$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли.

Сила тяжести $F_h$ на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли равна:
$F_h = G \frac{M_З m}{(R_З+h)^2}$,
так как расстояние до центра Земли становится равным $R_З+h$.

По условию задачи, сила тяжести на высоте $\text{h}$ вдвое меньше силы тяжести на поверхности:
$F_h = \frac{1}{2} F_0$

Приравняем соответствующие выражения:
$G \frac{M_З m}{(R_З+h)^2} = \frac{1}{2} G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократим общие множители $\text{G}$, $M_З$ и $\text{m}$:
$\frac{1}{(R_З+h)^2} = \frac{1}{2 R_З^2}$

Из этого равенства следует:
$(R_З+h)^2 = 2 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$R_З+h = \sqrt{2} R_З$

Теперь выразим высоту $\text{h}$:
$h = \sqrt{2} R_З - R_З = R_З(\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения. Примем $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $R_З \approx 6400 \text{ км}$:
$h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414 \approx 2649.6 \text{ км}$

Округляя, получаем, что высота составляет примерно 2650 км.

Ответ: $h = R_З(\sqrt{2} - 1) \approx 2650 \text{ км}$.