Вариант 4, страница 25 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Динамика. Самостоятельная работа № 5. Первая космическая скорость. Искусственные спутники Земли - страница 25.

Условие.

Вариант 4

1. Вычислите первую космическую скорость для Венеры, если масса планеты $4,9 \cdot 10^{21}$ т, а средний радиус 6100 км.

2. Что произойдёт с искусственным спутником Земли, если скорость вывода его на орбиту будет чуть больше или чуть меньше первой космической скорости?

Решение.

1. Вычислите первую космическую скорость для Венеры, если масса планеты 4,9·10²¹ т, а средний радиус 6100 км.

Дано

Масса Венеры: $M = 4,9 \cdot 10^{21} \text{ т} = 4,9 \cdot 10^{21} \cdot 10^3 \text{ кг} = 4,9 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Средний радиус Венеры: $R = 6100 \text{ км} = 6100 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,1 \cdot 10^6 \text{ м}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

$v_1$ - первая космическая скорость.

Решение

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для этого необходимо, чтобы сила всемирного тяготения, действующая на спутник, создавала необходимое центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для спутника на круговой орбите:

$F_g = m a_c$

где $F_g$ - сила гравитационного притяжения, $a_c$ - центростремительное ускорение.

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$

$a_c = \frac{v_1^2}{R}$

Приравнивая силы, получаем:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, выразим первую космическую скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и вычислим:

$v_1 = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 4,9 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{6,1 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{32,683 \cdot 10^{13}}{6,1 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5,358 \cdot 10^7} \approx \sqrt{53,58 \cdot 10^6} \approx 7,32 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем скорость в км/с:

$7,32 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7,32 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: первая космическая скорость для Венеры составляет примерно $7320$ м/с или $7,32$ км/с.

2. Что произойдёт с искусственным спутником Земли, если скорость вывода его на орбиту будет чуть больше или чуть меньше первой космической скорости?

Первая космическая скорость ($v_1$) — это скорость, необходимая для движения по круговой орбите вокруг планеты на данной высоте. При этой скорости сила тяжести в точности равна центростремительной силе, удерживающей спутник на круговой траектории. Отклонение от этой скорости при выводе на орбиту изменит её форму.

Случай 1: Скорость чуть меньше первой космической ($v < v_1$).

Если скорость спутника будет немного меньше первой космической, то силы гравитационного притяжения Земли окажется недостаточно для удержания его на круговой орбите; она станет больше, чем требуется для движения по кругу с такой скоростью. Спутник начнет снижаться и двигаться по эллиптической траектории, которая будет пересекаться с более плотными слоями атмосферы. Точка вывода на орбиту станет апогеем (самой дальней точкой) этой траектории. Из-за сопротивления воздуха спутник будет терять скорость и высоту, двигаясь по сужающейся спирали. В конечном итоге он войдет в плотные слои атмосферы и сгорит, либо его обломки упадут на поверхность Земли.

Случай 2: Скорость чуть больше первой космической ($v > v_1$).

Если скорость спутника будет немного больше первой космической (но меньше второй космической, или скорости убегания), то центростремительная сила, необходимая для удержания на круговой орбите, превысит силу гравитации. Спутник начнет удаляться от Земли. Его траектория перестанет быть круговой и превратится в эллипс. Точка вывода на орбиту станет перигеем (ближайшей к Земле точкой) новой эллиптической орбиты. Спутник не упадет на Землю, а продолжит движение по этой устойчивой замкнутой эллиптической орбите.

Ответ: если скорость спутника будет чуть меньше первой космической, он начнет падать на Землю по спирали и в итоге сгорит в атмосфере. Если скорость будет чуть больше первой космической, спутник перейдет с круговой орбиты на устойчивую эллиптическую.