Вариант 3, страница 5 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 1. Путь и перемещение. Кинематика. Механика - страница 5.

Условие.

Вариант 3

1. Малое тело, двигаясь по окружности, проходит расстояние, равное 0,75 её длины. Во сколько раз путь, пройденный телом, больше модуля перемещения?

2. Проекция вектора перемещения на ось OX равна $s_x = -6 \text{ м}$, а проекция на ось OY $s_y = 8 \text{ м}$. Определите модуль перемещения.

Решение.

1. Малое тело, двигаясь по окружности, проходит расстояние, равное 0,75 её длины. Во сколько раз путь, пройденный телом, больше модуля перемещения?

Дано:

Путь $\text{L}$ равен 0,75 длины окружности $\text{C}$: $L = 0,75C$.
Длина окружности: $C = 2\pi R$, где $\text{R}$ - радиус окружности.

Найти:

Отношение пути к модулю перемещения: $\frac{L}{s}$.

Решение:

Путь, пройденный телом, — это длина дуги, по которой оно двигалось. По условию задачи, эта длина составляет 0,75 от длины всей окружности.
Путь $L = 0,75 \cdot C = 0,75 \cdot 2\pi R = 1,5\pi R$.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения. Модуль перемещения $\text{s}$ — это длина этого вектора, то есть длина хорды, стягивающей дугу в 0,75 окружности.

Прохождение 0,75 длины окружности соответствует повороту на центральный угол $\alpha = 0,75 \cdot 360^\circ = 270^\circ$.
Представим окружность в системе координат с центром в начале координат $(0, 0)$. Пусть начальная точка тела находится в положении $A(R, 0)$. После поворота на $270^\circ$ против часовой стрелки тело окажется в точке $B(0, -R)$.
Модуль перемещения $\text{s}$ равен расстоянию между точками A и B. По теореме Пифагора:
$s = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - R)^2 + (-R - 0)^2} = \sqrt{(-R)^2 + (-R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Теперь найдем искомое отношение пути $\text{L}$ к модулю перемещения $\text{s}$:
$\frac{L}{s} = \frac{1,5\pi R}{R\sqrt{2}} = \frac{1,5\pi}{\sqrt{2}}$.

Для численной оценки используем приближенные значения $\pi \approx 3,1416$ и $\sqrt{2} \approx 1,4142$:
$\frac{L}{s} \approx \frac{1,5 \cdot 3,1416}{1,4142} \approx \frac{4,7124}{1,4142} \approx 3,332$.

Ответ: путь больше модуля перемещения в $\frac{1,5\pi}{\sqrt{2}}$ раз, что составляет примерно 3,332.

2. Проекция вектора перемещения на ось OX равна $s_{x} = -6$ м, а проекция на ось OY $s_{y} = 8$ м. Определите модуль перемещения.

Дано:

Проекция вектора перемещения на ось OX: $s_x = -6$ м.
Проекция вектора перемещения на ось OY: $s_y = 8$ м.

Найти:

Модуль перемещения $\text{s}$.

Решение:

Модуль вектора перемещения $\text{s}$ можно найти, зная его проекции на координатные оси $s_x$ и $s_y$. Вектор перемещения $\vec{s}$ и его проекции $s_x$ и $s_y$ образуют прямоугольный треугольник, где $s_x$ и $s_y$ являются катетами, а модуль вектора $\text{s}$ — гипотенузой.
Согласно теореме Пифагора, модуль вектора вычисляется по формуле:
$s = |\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$.

Подставим значения проекций из условия задачи:
$s = \sqrt{(-6 \text{ м})^2 + (8 \text{ м})^2} = \sqrt{36 \text{ м}^2 + 64 \text{ м}^2} = \sqrt{100 \text{ м}^2} = 10 \text{ м}$.

Ответ: модуль перемещения равен 10 м.