Вариант 5*, страница 5 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 1. Путь и перемещение - страница 5.

Условие.

Вариант 5*

1. Группа туристов прошла на север 30 км, затем на восток ещё 40 км. Определите модуль перемещения группы туристов и направление перемещения относительно оси $OX$.

2. Самолёт пролетел 200 км под углом $30^\circ$ к оси $OX$, затем под углом $150^\circ$ ещё 200 км. Определите конечные координаты самолёта.

Решение.

1. Дано:

$s_1 = 30$ км (перемещение на север)
$s_2 = 40$ км (перемещение на восток)

$s_1 = 30 \text{ км} = 30 \times 10^3 \text{ м}$
$s_2 = 40 \text{ км} = 40 \times 10^3 \text{ м}$

Найти:

Модуль перемещения $|\vec{s}|$, направление перемещения $\alpha$.

Решение:

Введём прямоугольную систему координат. Направим ось OY на север, а ось OX — на восток. Начало отсчёта совпадает с начальной точкой движения туристов.

Первое перемещение группы туристов $\vec{s_1}$ направлено вдоль оси OY. Его компоненты: $s_{1x} = 0$ км, $s_{1y} = 30$ км.

Второе перемещение $\vec{s_2}$ направлено вдоль оси OX. Его компоненты: $s_{2x} = 40$ км, $s_{2y} = 0$ км.

Результирующее перемещение $\vec{s}$ является векторной суммой перемещений $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$: $\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$.
Компоненты результирующего вектора равны сумме соответствующих компонентов:

$s_x = s_{1x} + s_{2x} = 0 + 40 = 40$ км
$s_y = s_{1y} + s_{2y} = 30 + 0 = 30$ км

Модуль (длина) вектора перемещения $|\vec{s}|$ находится по теореме Пифагора:

$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ км.

Направление перемещения — это угол $\alpha$, который вектор $\vec{s}$ образует с осью OX. Его можно найти с помощью тангенса:

$\tan(\alpha) = \frac{s_y}{s_x} = \frac{30}{40} = 0.75$

$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ$

Ответ: модуль перемещения группы туристов равен 50 км, направление перемещения составляет угол примерно 37° с осью OX (направленной на восток).

2. Дано:

$s_1 = 200$ км
$\alpha_1 = 30^\circ$
$s_2 = 200$ км
$\alpha_2 = 150^\circ$

$s_1 = 200 \text{ км} = 200 \times 10^3 \text{ м}$
$s_2 = 200 \text{ км} = 200 \times 10^3 \text{ м}$

Найти:

Конечные координаты самолёта $(x, y)$.

Решение:

Будем считать, что самолёт начинает движение из начала координат $(0, 0)$. Конечные координаты самолёта будут равны компонентам вектора полного перемещения $\vec{s}$, который является суммой двух векторов перемещений: $\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$.

Найдём компоненты первого вектора перемещения $\vec{s_1}$:

$s_{1x} = s_1 \cdot \cos(\alpha_1) = 200 \cdot \cos(30^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}$ км
$s_{1y} = s_1 \cdot \sin(\alpha_1) = 200 \cdot \sin(30^\circ) = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100$ км

Найдём компоненты второго вектора перемещения $\vec{s_2}$:

$s_{2x} = s_2 \cdot \cos(\alpha_2) = 200 \cdot \cos(150^\circ) = 200 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -100\sqrt{3}$ км
$s_{2y} = s_2 \cdot \sin(\alpha_2) = 200 \cdot \sin(150^\circ) = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100$ км

Теперь найдём компоненты результирующего вектора перемещения, которые и будут конечными координатами самолёта:

$x = s_{1x} + s_{2x} = 100\sqrt{3} + (-100\sqrt{3}) = 0$ км
$y = s_{1y} + s_{2y} = 100 + 100 = 200$ км

Ответ: конечные координаты самолёта (0; 200) км.