Вариант 4, страница 5 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Кинематика. Самостоятельная работа № 1. Путь и перемещение - страница 5.

Условие.

Вариант 4

1. Шарик проходит $\frac{1}{4}$ окружности. Во сколько раз путь, пройденный шариком, больше модуля перемещения?

2. Модуль перемещения тела составляет 10 м, а проекция перемещения на ось $OY$ $s_y = -8$ м. Определите проекцию перемещения на ось $OX$.

Решение.

1. Шарик проходит 1/4 окружности. Во сколько раз путь, пройденный шариком, больше модуля перемещения?

Решение:

Пусть шарик движется по окружности радиусом $\text{R}$.

Путь $\text{L}$, пройденный шариком, — это длина дуги, которая составляет $1/4$ от длины всей окружности. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Следовательно, пройденный путь равен:

$L = \frac{1}{4} \cdot C = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2}$

Перемещение — это вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. Модуль перемещения $|S|$ — это длина этого вектора. Когда шарик проходит четверть окружности, его начальное и конечное положение вместе с центром окружности образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны радиусу окружности $\text{R}$, а гипотенуза является модулем перемещения $|S|$.

По теореме Пифагора:

$|S|^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

Отсюда модуль перемещения равен:

$|S| = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Теперь найдем, во сколько раз путь больше модуля перемещения, для этого разделим путь на модуль перемещения:

$\frac{L}{|S|} = \frac{\frac{\pi R}{2}}{R\sqrt{2}} = \frac{\pi R}{2 \cdot R\sqrt{2}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

Для численной оценки: $\pi \approx 3,14$, $\sqrt{2} \approx 1,41$.

$\frac{L}{|S|} \approx \frac{3,14}{2 \cdot 1,41} = \frac{3,14}{2,82} \approx 1,11$

Ответ: Путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ раз (приблизительно в 1,11 раза).

2. Модуль перемещения тела составляет 10 м, а проекция перемещения на ось OY s_y = -8 м. Определите проекцию перемещения на ось OX.

Дано:

Модуль перемещения $|s| = 10$ м

Проекция перемещения на ось OY $s_y = -8$ м

Найти:

Проекцию перемещения на ось OX $s_x$

Решение:

Вектор перемещения $\text{s}$ можно представить в виде суммы его проекций на оси координат OX и OY. Модуль вектора перемещения $|s|$ связан с его проекциями $s_x$ и $s_y$ через теорему Пифагора:

$|s|^2 = s_x^2 + s_y^2$

Из этой формулы выразим квадрат проекции на ось OX:

$s_x^2 = |s|^2 - s_y^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$s_x^2 = 10^2 - (-8)^2 = 100 - 64 = 36$

Чтобы найти $s_x$, извлечем квадратный корень из 36. Важно учесть, что проекция вектора на ось может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому корень может быть со знаком плюс или минус.

$s_x = \pm\sqrt{36} = \pm6$ м

Ответ: Проекция перемещения на ось OX равна $6$ м или $-6$ м.