Номер 6, страница 97 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 12. Движение под действием сил всемирного тяготения - номер 6, страница 97.

Условие.

6. Расскажите о первой космической скорости. Чему она равна?

Решение.

Первая космическая скорость (также называемая круговой скоростью) — это минимальная скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником небесного тела, то есть чтобы оно начало двигаться по круговой орбите вблизи его поверхности и не упало обратно. Эта скорость должна быть направлена горизонтально, то есть по касательной к поверхности.

Движение спутника по круговой орбите возможно, когда сила всемирного тяготения, притягивающая его к планете, в точности равна центростремительной силе, необходимой для поддержания кругового движения. Это условие можно записать в виде уравнения:

$F_{\text{тяг}} = F_{\text{цс}}$

Сила тяготения ($F_{\text{тяг}}$) описывается законом всемирного тяготения Ньютона, а центростремительная сила ($F_{\text{цс}}$) зависит от массы спутника, его скорости и радиуса орбиты. Для спутника массой $\text{m}$, вращающегося вокруг планеты массой $\text{M}$ по орбите радиусом $\text{R}$ (для орбиты у поверхности $\text{R}$ — это радиус планеты), уравнение принимает вид:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

где $v_1$ — первая космическая скорость, а $\text{G}$ — гравитационная постоянная. Упростив это выражение (сократив $\text{m}$ и $\text{R}$), мы получим формулу для вычисления первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Эту формулу можно также выразить через ускорение свободного падения на поверхности планеты $\text{g}$, которое равно $g = \frac{GM}{R^2}$. Отсюда $GM = gR^2$. Подставив это в формулу для скорости, получим более простую для расчетов формулу:

$v_1 = \sqrt{gR}$

Рассчитаем численное значение первой космической скорости для планеты Земля.

Дано:

Среднее ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$
Средний радиус Земли: $R_З \approx 6400 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \, \text{км} = 6400 \cdot 10^3 \, \text{м} = 6,4 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Найти:

Первую космическую скорость для Земли $v_1$.

Решение:

Воспользуемся формулой $v_1 = \sqrt{gR_З}$. Подставим в неё данные значения:

$v_1 = \sqrt{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \, \text{м}} = \sqrt{62,72 \cdot 10^6 \, \text{м}^2/\text{с}^2}$

$v_1 \approx 7919,6 \, \text{м/с}$

Переведём полученное значение в километры в секунду:

$v_1 \approx 7,92 \, \text{км/с}$

Ответ: Первая космическая скорость — это минимальная горизонтальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником и вышло на круговую орбиту. Она определяется по формуле $v_1 = \sqrt{gR}$. Для Земли первая космическая скорость составляет приблизительно $7,9 \, \text{км/с}$.