Номер 8, страница 97 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 12. Движение под действием сил всемирного тяготения - номер 8, страница 97.

Условие.

8. С одинаковой высоты из состояния покоя падают два медных шара одинакового радиуса — один сплошной, а другой полый. Какой шар упадёт раньше? Рассмотрите случаи, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь и когда — нельзя.

Решение.

а) Сопротивлением воздуха можно пренебречь

В этом случае на оба шара действует только одна сила — сила тяжести $F_g = mg$, где $\text{m}$ — масса шара, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Согласно второму закону Ньютона, ускорение, с которым падает тело, определяется уравнением $ma = F_g$.

Подставив выражение для силы тяжести, получим: $ma = mg$.

Отсюда следует, что ускорение каждого шара равно $a = g$ и не зависит от его массы. Поскольку оба шара начинают падать с одинаковой высоты $\text{h}$ из состояния покоя (начальная скорость $v_0 = 0$) и движутся с одинаковым ускорением, время их падения будет одинаковым. Время падения можно рассчитать по формуле $t = \sqrt{2h/g}$.

Ответ: Если пренебречь сопротивлением воздуха, оба шара упадут одновременно.

б) Сопротивлением воздуха пренебречь нельзя

В этом случае на каждый шар действуют две силы: направленная вниз сила тяжести $F_g = mg$ и направленная вверх сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$. Сила сопротивления воздуха зависит от формы, размеров и скорости тела. Поскольку оба шара имеют одинаковый радиус (а значит, одинаковую форму и площадь поперечного сечения), при одинаковой скорости на них будет действовать одинаковая сила сопротивления воздуха.

Однако массы шаров различны. Сплошной медный шар имеет большую массу, чем полый медный шар того же радиуса. Обозначим массу сплошного шара как $m_с$, а массу полого — как $m_п$. Таким образом, $m_с > m_п$.

Результирующая сила, действующая на каждый шар, равна $F_{рез} = F_g - F_{сопр} = mg - F_{сопр}$.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение шара равно $a = \frac{F_{рез}}{m} = \frac{mg - F_{сопр}}{m} = g - \frac{F_{сопр}}{m}$.

Сравним ускорения двух шаров в любой момент времени, когда их скорости одинаковы (и, следовательно, силы сопротивления $F_{сопр}$ для них одинаковы):

Ускорение сплошного шара: $a_с = g - \frac{F_{сопр}}{m_с}$.

Ускорение полого шара: $a_п = g - \frac{F_{сопр}}{m_п}$.

Так как $m_с > m_п$, то дробь $\frac{F_{сопр}}{m_с}$ будет меньше, чем дробь $\frac{F_{сопр}}{m_п}$. Следовательно, из величины $\text{g}$ вычитается меньшее значение для сплошного шара. Это означает, что ускорение сплошного шара будет больше, чем ускорение полого шара в любой момент времени: $a_с > a_п$.

Поскольку сплошной шар все время движется с большим ускорением, он быстрее наберет скорость и преодолеет то же расстояние за меньшее время.

Ответ: Если учитывать сопротивление воздуха, сплошной шар упадёт раньше.