Номер 7, страница 97 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 12. Движение под действием сил всемирного тяготения - номер 7, страница 97.

Условие.

7. Расскажите о второй космической скорости. Чему она равна?

Решение.

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость (также известная как параболическая скорость, скорость освобождения или скорость убегания) — это наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту на поверхности небесного тела (например, планеты), чтобы он преодолел его гравитационное притяжение и покинул замкнутую орбиту вокруг него. При сообщении телу такой скорости его траектория превращается из эллипса в параболу, и оно удаляется от небесного тела на бесконечно большое расстояние.

Формулу второй космической скорости можно вывести из закона сохранения энергии. Для того чтобы тело покинуло гравитационное поле, его полная механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной энергии) должна быть не меньше нуля. В предельном случае, соответствующем минимальной скорости, полная энергия равна нулю. Потенциальная энергия тела массой $\text{m}$ в гравитационном поле небесного тела массой $\text{M}$ на расстоянии $\text{R}$ от его центра равна $E_p = -G\frac{Mm}{R}$. Кинетическая энергия этого тела равна $E_k = \frac{mv_2^2}{2}$, где $v_2$ — вторая космическая скорость.
Запишем закон сохранения энергии для условия ухода на бесконечность ($E_{полная} = 0$):
$E_k + E_p = 0$
$\frac{mv_2^2}{2} - G\frac{Mm}{R} = 0$
Из этого уравнения выразим скорость $v_2$:
$\frac{mv_2^2}{2} = G\frac{Mm}{R}$
$v_2^2 = \frac{2GM}{R}$
$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела, $\text{R}$ — его радиус.

Вторая космическая скорость связана с первой космической скоростью ($v_1$), которая необходима для движения по круговой орбите у поверхности планеты ($v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$). Соотношение между ними следующее:
$v_2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{GM}{R}} = v_1\sqrt{2}$
Таким образом, вторая космическая скорость в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1.414 раз) больше первой.

Для планеты Земля первая космическая скорость у поверхности составляет примерно $7.9 \, \text{км/с}$. Соответственно, вторая космическая скорость для Земли (без учета сопротивления атмосферы и вращения планеты) равна:
$v_2 \approx 7.9 \, \text{км/с} \cdot \sqrt{2} \approx 11.2 \, \text{км/с}$.

Ответ: Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности небесного тела, чтобы оно смогло преодолеть его гравитационное притяжение и уйти на бесконечность. Она вычисляется по формуле $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ и для Земли составляет примерно $11.2 \, \text{км/с}$.