Номер 12, страница 72, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 6. Три закона Ньютона - номер 12, страница 72.

Условие.

12. Когда к первоначально покоившейся тележке, на которой лежит груз массой 300 г, прикладывают некоторую постоянную силу, тележка за 2 с проезжает вдоль всего лабораторного стола. Если груз с тележки снять, то под действием той же силы первоначально покоившаяся тележка проходит тот же путь за 1 с. Примите, что трением между тележкой и столом можно пренебречь. Поставьте три вопроса по этой ситуации и найдите ответы на них.

Решение 2.

Дано:

$m_г = 300 \text{ г}$

$t_1 = 2 \text{ с}$

$t_2 = 1 \text{ с}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

В СИ:

$m_г = 0.3 \text{ кг}$

Найти:

В соответствии с условием задачи, сформулируем три вопроса и найдем на них ответы:

1. Какова масса тележки ($m_т$)?
2. Во сколько раз ускорение тележки без груза ($a_2$) больше ускорения тележки с грузом ($a_1$)?
3. Во сколько раз конечная скорость тележки без груза ($v_2$) больше конечной скорости тележки с грузом ($v_1$)?

Решение:

Опишем движение тележки в двух случаях с помощью второго закона Ньютона и формулы для пути при равноускоренном движении из состояния покоя.

Случай 1: Тележка с грузом.

Полная масса системы: $M_1 = m_т + m_г$.

Второй закон Ньютона: $F = M_1 a_1 = (m_т + m_г)a_1$.

Пройденный путь: $S = \frac{a_1 t_1^2}{2}$.

Случай 2: Тележка без груза.

Масса системы: $M_2 = m_т$.

Второй закон Ньютона: $F = M_2 a_2 = m_т a_2$.

Пройденный путь: $S = \frac{a_2 t_2^2}{2}$.

Так как приложенная сила $\text{F}$ и пройденный путь $\text{S}$ в обоих случаях одинаковы, мы можем составить систему уравнений.

Какова масса тележки?

Приравняем выражения для силы $\text{F}$ и выразим отношение ускорений через массы:

$(m_т + m_г)a_1 = m_т a_2 \implies \frac{a_1}{a_2} = \frac{m_т}{m_т + m_г}$

Приравняем выражения для пути $\text{S}$ и выразим отношение ускорений через время:

$\frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{a_2 t_2^2}{2} \implies a_1 t_1^2 = a_2 t_2^2 \implies \frac{a_1}{a_2} = \frac{t_2^2}{t_1^2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения ускорений $\frac{a_1}{a_2}$:

$\frac{m_т}{m_т + m_г} = \frac{t_2^2}{t_1^2}$

Решим это уравнение относительно массы тележки $m_т$:

$m_т t_1^2 = (m_т + m_г)t_2^2$

$m_т t_1^2 = m_т t_2^2 + m_г t_2^2$

$m_т t_1^2 - m_т t_2^2 = m_г t_2^2$

$m_т(t_1^2 - t_2^2) = m_г t_2^2$

$m_т = m_г \frac{t_2^2}{t_1^2 - t_2^2}$

Подставим числовые значения:

$m_т = 0.3 \text{ кг} \cdot \frac{(1 \text{ с})^2}{(2 \text{ с})^2 - (1 \text{ с})^2} = 0.3 \cdot \frac{1}{4 - 1} = 0.3 \cdot \frac{1}{3} = 0.1 \text{ кг}$

Ответ: масса тележки равна 0.1 кг или 100 г.

Во сколько раз ускорение тележки без груза больше ускорения тележки с грузом?

Найдем отношение ускорения $a_2$ к $a_1$. Из соотношения, полученного ранее из равенства путей, имеем:

$a_1 t_1^2 = a_2 t_2^2 \implies \frac{a_2}{a_1} = \frac{t_1^2}{t_2^2}$

Подставим значения времени:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{(2 \text{ с})^2}{(1 \text{ с})^2} = \frac{4}{1} = 4$

Ответ: ускорение тележки без груза в 4 раза больше, чем с грузом.

Во сколько раз конечная скорость тележки без груза больше конечной скорости тележки с грузом?

Конечная скорость при равноускоренном движении из состояния покоя определяется по формуле $v = at$.

Для первого случая: $v_1 = a_1 t_1$.

Для второго случая: $v_2 = a_2 t_2$.

Найдем отношение конечных скоростей:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{a_2 t_2}{a_1 t_1} = \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{t_2}{t_1}$

Мы уже знаем, что $\frac{a_2}{a_1} = 4$. Подставим это значение и значения времени:

$\frac{v_2}{v_1} = 4 \cdot \frac{1 \text{ с}}{2 \text{ с}} = 2$

Ответ: конечная скорость тележки без груза в 2 раза больше, чем с грузом.