Номер 14, страница 72, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 6. Три закона Ньютона - номер 14, страница 72.

Условие.

14. К шару массой 5 кг приложены силы, равные по модулю 4 Н и 3 Н. С каким ускорением может двигаться шар? При каком условии ускорение шара равно $1 м/с^2$?

Решение 2.

Дано:

$m = 5$ кг

$F_1 = 4$ Н

$F_2 = 3$ Н

$a_{спр} = 1$ м/с²

Найти:

1. Диапазон возможных ускорений $\text{a}$ - ?

2. Условие, при котором $a = a_{спр}$ - ?

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе:

$ \vec{a} = \frac{\vec{F}_{равн}}{m} $

Равнодействующая сила $ \vec{F}_{равн} $ является векторной суммой сил $ \vec{F}_1 $ и $ \vec{F}_2 $. Модуль равнодействующей силы зависит от угла $ \alpha $ между векторами этих сил и находится по теореме косинусов:

$ F_{равн} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha} $

Следовательно, ускорение $ a $ также зависит от угла $ \alpha $:

$ a = \frac{F_{равн}}{m} = \frac{\sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}}{m} $

С каким ускорением может двигаться шар?

Чтобы найти диапазон возможных ускорений, нужно определить максимальное и минимальное значения равнодействующей силы.

1. Максимальное значение равнодействующей силы $ F_{max} $ достигается, когда силы сонаправлены (угол $ \alpha = 0^\circ $, $ \cos(0^\circ) = 1 $):

$ F_{max} = F_1 + F_2 = 4 \text{ Н} + 3 \text{ Н} = 7 \text{ Н} $

Соответствующее максимальное ускорение:

$ a_{max} = \frac{F_{max}}{m} = \frac{7 \text{ Н}}{5 \text{ кг}} = 1.4 \text{ м/с²} $

2. Минимальное значение равнодействующей силы $ F_{min} $ достигается, когда силы направлены в противоположные стороны (угол $ \alpha = 180^\circ $, $ \cos(180^\circ) = -1 $):

$ F_{min} = |F_1 - F_2| = |4 \text{ Н} - 3 \text{ Н}| = 1 \text{ Н} $

Соответствующее минимальное ускорение:

$ a_{min} = \frac{F_{min}}{m} = \frac{1 \text{ Н}}{5 \text{ кг}} = 0.2 \text{ м/с²} $

Таким образом, шар может двигаться с ускорением, модуль которого находится в пределах от $ 0.2 $ м/с² до $ 1.4 $ м/с² включительно.

Ответ: Ускорение шара может принимать значения в диапазоне от $ 0.2 $ м/с² до $ 1.4 $ м/с².

При каком условии ускорение шара равно 1 м/с²?

Найдем модуль равнодействующей силы, которая сообщит шару ускорение $ a = 1 $ м/с²:

$ F_{равн} = m \cdot a = 5 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с²} = 5 \text{ Н} $

Теперь найдем угол $ \alpha $ между силами $ F_1 $ и $ F_2 $, при котором их равнодействующая равна $ 5 $ Н. Воспользуемся теоремой косинусов:

$ F_{равн}^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha $

Подставим известные значения:

$ 5^2 = 4^2 + 3^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos\alpha $

$ 25 = 16 + 9 + 24\cos\alpha $

$ 25 = 25 + 24\cos\alpha $

$ 0 = 24\cos\alpha $

$ \cos\alpha = 0 $

Это означает, что угол между векторами сил равен $ \alpha = 90^\circ $.

Ответ: Ускорение шара будет равно $ 1 $ м/с², если приложенные силы будут направлены перпендикулярно друг другу (под углом $ 90^\circ $).